ファイナンス練習(2021年09月13日) - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　業務でC#を用いることになったので、最近勉強していなくて朧気になってきた知識をReviseする意味でも、以下の書籍を読みながらC#で実装してみる。今回はP.202-204まで。

EXCEL&VBAで学ぶファイナンスの数理

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7. Monte Carloシミュレーション
- 7.3 オプションの評価
- 7.4 C#での実装
  - 7.4.1 コード
  - 7.4.2 シミュレーション結果

7. Monte Carloシミュレーション

7.3 オプションの評価

　Black-ScholesモデルをMonte Carlo法にて評価する。
　株価 $S(t)$ が幾何ブラウン運動に従うと仮定しよう：

$\begin{aligned} dS(t)=rS(t)dt+\sigma S(t) dz(t) \end{aligned}$

ここで $r$ は無リスク金利、 $\sigma$ はボラティリティ、 $z(t)$ はブラウン運動とする。
　本モデルにおいて

$\begin{aligned} Y(t)=\log{S(t)}-\log{S(0)} \end{aligned}$

とおき、伊藤の公式を適用すべく $f(x,t)=\log{x}$ とおけば

$\begin{aligned} f_t(x,t)=0,\ \ f_x(x,t)=\frac{1}{x},\ \ f_{xx}(x,t)=-\frac{1}{x^2} \end{aligned}$

が得られる。伊藤の公式から

$\begin{aligned} dY(t)=\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)dt+\sigma dz(t), \ \ Y(0)=0 \end{aligned}$

が導かれる。この両辺を $t$ について $t:0\rightarrow T$ で積分することで

$\begin{aligned} Y(T)=\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)T+\sigma z(T) \end{aligned}$

すなわち

$\begin{aligned} Y(T)\sim N\left(\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)T, \sigma^{2}T\right) \end{aligned}$

である。以上から

$\begin{aligned} S(T)=S(0)\exp{\left[\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)T+\sigma\varepsilon\sqrt{T}\right]} \end{aligned}$

ここで $\varepsilon \sim N(0,1)$ とする。
　リスク中立化法により、ペイオフ関数 $h(S)$ をもつ満期が $T$ のヨーロピアン・オプション価格は

$\begin{aligned} c(S,T)=E^{*}\left[\frac{h(S(T))}{B(T)}\right] \end{aligned}$

である。ただし $S(0)=S, E^{*}$ はリスク中立確率に関する期待値、

$\begin{aligned} B(t)=\exp{\left\{\int_{0}^{t}r(u) du \right\}} \end{aligned}$

とする。
　たとえば、ペイオフ関数が $h(S)=(S-K)^2$ に従うパワー・オプションの価格をMonte Carlo法にて評価しよう。ここでは満期 $T$ における株価の分布が既知（ $S(T)=S(0)\exp{\left[\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)T+\sigma\varepsilon\sqrt{T}\right]}$ ）であるから、

正規乱数 $y_i\sim N\left(\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)T,\sigma^2T \right)$ を $N$ 個生成する。
満期 $T$ における株価を $s_T^{(i)}=Se^{y_i}$ とおく。
デリバティブ価格を以下で与える：

$\begin{aligned} c(S,T)\approx \frac{e^{-rT}}{N}\sum_{i=1}^{N}(s_T^{(i)}-K)^2 \end{aligned}$

7.4 C#での実装

　Box-Muller法の実装結果も併せて掲載する。

7.4.1 コード

using System;
using MathNet.Numerics;

/// <summary>
/// Box-Muller法により正規乱数を生成する
/// </summary>
/// <param name="N">生成したい乱数の数</param>
/// <param name="Mean">乱数が従う分布の平均</param>
/// <param name="Std">乱数が従う分布の標準偏差</param>
/// <returns>N(Mean,Std^2)に従う正規乱数N個</returns>
public static List<double> BoxMuller(int N, double Mean, double Std)
{
    var ret = new List<double>();

    double[] ret1 = new double[N];
    double[] ret2 = new double[N];

    var Random = new MathNet.Numerics.Random.MersenneTwister();

    Random.NextDoubles(ret1);
    Random.NextDoubles(ret2);

    double sample = 0.0;

    for (int i = 0; i < N; i++)
    {
        sample = Math.Sqrt(-2.0 * Math.Log(ret1[i])) * Math.Cos(2.0 * Math.PI * ret2[i]);
        sample = Std * sample + Mean;

        ret.Add(sample);
    }

    return ret;
}

/// <summary>
/// パワーオプションの価格をMonte Carlo法にて評価する
/// </summary>
/// <param name="S">原資産価格</param>
/// <param name="K">行使価格</param>
/// <param name="r">無リスク金利</param>
/// <param name="T">満期までの期間</param>
/// <param name="std">ボラティリティ</param>
/// <param name="N">シミュレーション回数</param>
/// <returns>パワーオプション価格</returns>
public static double SimPowerOption(int S, int K, double r, double T, double std, int N)
{
    double ret = 0.0;

    List<double> SimReturn = BoxMuller(N, (r - 0.5 * Math.Pow(std, 2.0)) * T, Math.Pow(std, 2.0) * T);
    double Stock = 0.0;

    foreach (double Return in SimReturn)
    {
        Stock = S * Math.Exp(Return);
        ret += Math.Pow(Stock - K, 2.0);
    }

    ret *= Math.Exp(-r * T);
    ret /= N;

    return ret;
}

以上でシミュレーションが可能である。

7.4.2 シミュレーション結果

　実際にシミュレーション結果を掲げる。それに当たり、改めて実装対象となる評価式を確認しておこう。

$\begin{aligned} c(S,T)\approx \frac{e^{-rT}}{N}\sum_{i=1}^{N}\left[S\exp\left\{\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)T+ \sigma\sqrt{T}\varepsilon\right\}-K\right]^2 \end{aligned}$

である。ここで $\varepsilon\sim N(0,1)$ である。
　このように複数のパラメータが関わることから、各パラメータを動かしつつ前掲したコードでシミュレーションした。なお動かさないパラメータ値は以下の通りである：

	パラメータ値	刻み
初期時点の株価 $S$	$150$	$1$
行使価格 $K$	$150$	$1$
無リスク金利 $r$	$2.00\%$	$0.02\%$
満期までの年数 $T$	$0.5$ 年	$0.5$ 年
ボラティリティ $\sigma$	$20\%$	$1\%$
シミュレーション数 $N$	$10,000$ 回	$50$ 回