ファイナンス練習(2021年09月09日) - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　業務でC#を用いることになったので、最近勉強していなくて朧気になってきた知識をReviseする意味でも、以下の書籍を読みながらC#で実装してみる。統計学については別書で触れたいため大幅にカットします。今回はP.174-180まで（当分は実装なしが続きます）。

EXCEL&VBAで学ぶファイナンスの数理

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6. 確率過程の基礎
- 6.3 Markov過程
- 6.4 推移確率

6. 確率過程の基礎

6.3 Markov過程

　ランダムウォークは独立性の仮定を以て諸性質が導かれた。しかしその過程は非常に強い。そこでそれを少し弱めたMarkov性を用いることが多い。

　一般の確率過程 $\{X_n\}$ では、 $X_{n+1}$ はそれ以前の履歴 $X_1,\cdots,X_n$ に依存して決まる。Markov性では、直前の $X_n$ のみに依存すると仮定する。すなわち

$\begin{aligned} P(\{X_{t+1}=k|X_1=i_1,\cdots,X_t=i_t\})&=P(\{X_{t+1}=k|X_t=j\})\\ P(\{X_{t+1}\leq x_{t+1}|X_1\leq x_1,\cdots,X_t\leq x_t\})&=P(\{X_{t+1}\leq x_{t+1}|X_t\leq x_t\}) \end{aligned}$

となるとき、Markov性があるという。またMarkov性をもつ確率過程はMarkov過程と呼ぶ。さらに状態が整数値のみを取るMarkov過程をMarkov連鎖という。
　Markov性は以下の2つの性質をもつ：

. Markov過程の将来の確率的挙動は現時点の値のみに依存し、それまでの履歴には無関係である。

. Markov過程では、現在のことが分かれば未来と過去は独立である。

6.4 推移確率

　Markov連鎖の解析的挙動は、すべての状態 $j,k\in S$ （ $S$ は状態空間）とすべての時点 $t\in T$ に対して、確率

$\begin{aligned} p_{jk}(t)=P(\{X_{t+1}=k|X_t=j\}) \end{aligned}$

を与えることで決定される。この確率を時点 $t$ における状態 $j$ から状態 $k$ への1ステップ遷移確率と呼ぶ。特に遷移確率が時刻に依存しない場合、すなわち

$\begin{aligned} P(\{X_{t+1}|=X_t=k\})=p_{jk}, 0\leq p_{jk}\leq1 \end{aligned}$

であるとき、斉時的であるという。
　推移確率はまとめて行列形式で書くと便利である：

${\boldsymbol{P}_1}=\begin{pmatrix} p_{11}&p_{12}&\cdots&p_{1N}\\ p_{21}&p_{22}&\cdots&p_{2N}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ p_{N1}&p_{N2}&\cdots&p_{NN}\\ \end{pmatrix}$

この成分は

$\begin{aligned} \sum_{j=1}^{N}\sum_{k=1}^{N}p_{jk}=1, 0\leq p_{jk}\leq 1 \end{aligned}$

を満たす。
　ある行ベクトルについて $\boldsymbol{v}_k=(v_1,\cdots,v_n)=(0,\cdots,0,1,0,\cdots,0)$ 、すなわち $v_k=1,v_n=1, n\neq k$ であるような場合、吸収状態であるという。これは、状態 $n$ になった場合、それ以外の状態にはならないことを表現している。金融工学では信用状態（特に信用格付）を表す行列として用いることがあり、吸収状態をデフォルト（倒産）と見なす。

$\begin{pmatrix} p_{11}&p_{12}&\cdots&p_{1N}&p_{1,N+1}\\ p_{21}&p_{22}&\cdots&p_{2N}&p_{2,N+1}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ 0&0&\cdots&0&1\\ \end{pmatrix}$

　斉時的なMarkov連鎖を用いると $n$ ステップ遷移行列を $1$ ステップ遷移行列のべき乗で表せる：

$\begin{aligned} \boldsymbol{P}_n={\boldsymbol{P}_1}^n \end{aligned}$