ファイナンスのための確率過程を丁寧に(05/X) - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

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を基に確率過程を学んでいきます。

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5.　ブラウン運動とマルチンゲール
- 5.3　伊藤の公式

5.　ブラウン運動とマルチンゲール

5.3　伊藤の公式

$\mathrm{Brown}$ 運動の差分の性質　 $W_t$ を $\mathrm{Brown}$ 運動とし、 $0=t_0\lt t_1\lt\cdots\lt t_n=t,$ $t_i-t_{i-1}=\displaystyle{\frac{t}{n}}$ とおく。このとき

$\begin{aligned} \displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\left(W_{t_i}-W_{t_{i-1}}\right)^2}\rightarrow t(n\rightarrow\infty) \end{aligned}$

が成り立つ。

( $\because$ 　 $\mathrm{Brown}$ 運動の定義から、 $W_{t_i}-W_{t_{i-1}}\sim N\left(0,t_{i}-t_{i-1}\right)$ で、正規分布の性質および $t_i-t_{i-1}=\displaystyle{\frac{t}{n}}$ に注意すれば、

$\begin{aligned} X_i=\displaystyle{\frac{W_{t_i}-W_{t_{i-1}}}{\sqrt{\displaystyle{\frac{t}{n}}}}} \end{aligned}$

と定義すると、すべての $i=1,2,\cdots,n$ に対して $X_i$ は互いに独立かつ標準正規分布に従う。したがって

$\begin{aligned} \displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\left(W_{t_i}-W_{t_{i-1}}\right)^2}=\displaystyle{\frac{t}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i^2}\rightarrow t(n\rightarrow\infty) \end{aligned}$

である。　 $\blacksquare$ )

　これを

$\begin{aligned} \displaystyle{\int_0^t \left(dW_s\right)^2}=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^{n}\left(W_{t_i}-W_{t_{i-1}}\right)^2}=t \end{aligned}$

と書き、更にこれらの微分形として

$\begin{aligned} \left(dW_t\right)^2=dt \end{aligned}$

とも書く。

例：
$\begin{aligned} \displaystyle{\int_0^t W_s dW_s}=\displaystyle{\frac{W_t^2-t}{2}} \end{aligned}$
が成り立つ。実際、 $0=t_0\lt t_1\lt\cdots\lt t_n=t,$ $t_i-t_{i-1}=\displaystyle{\frac{t}{n}}$ として
$\begin{aligned} \displaystyle{\sum_{i=1}^{n}W_{t_{i-1}}\left(W_{t_i}-W_{t_{i-1}}\right)}&=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\frac{\left\{W_{t_{i-1}}-W_{t_i}+\left(W_{t_i}-W_{t_{i-1}}\right)\right\}}{2}}\left(W_{t_i}-W_{t_{i-1}}\right)\\ &=\displaystyle{\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}\left(W_{t_i}-W_{t_{i-1}}^2\right)}-\displaystyle{\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}\left(W_{t_i}-W_{t_{i-1}}\right)^2}\\ &=\displaystyle{\frac{1}{2}\left(W_{t}-W_{t_{0}}^2\right)}-\displaystyle{\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}\left(W_{t_i}-W_{t_{i-1}}\right)^2}\\ &=\displaystyle{\frac{W_t^2-t}{2}} \end{aligned}$
である。

　また $W_t,W_t^{\prime}$ をそれぞれ独立な $\mathrm{Brown}$ 運動とすれば、

$\begin{aligned} \displaystyle{\int_0^t dW_t dW_t^{\prime}}=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\left(W_{t_i}-W_{t_{i-1}}\right)\left(W_{t_i}^{\prime}-W_{t_{i-1}}^{\prime}\right)}\\ \end{aligned}$

であり、 $X_i=\displaystyle{\frac{W_{t_i}-W_{t_{i-1}}}{\sqrt{\displaystyle{\frac{t}{n}}}}},$ $X_i^{\prime}=\displaystyle{\frac{W_{t_i}^{\prime}-W_{t_{i-1}}^{\prime}}{\sqrt{\displaystyle{\frac{t}{n}}}}}$ とおけば

$\begin{aligned} \displaystyle{\int_0^t dW_t dW_t^{\prime}}&=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{t}{n}\sum_{i=1}^{n}X_iX_i^{\prime} }\\ &=t E\left[X_iX_i^{\prime}\right]\\ &=t E\left[X_i\right]E\left[X_i^{\prime}\right]\\ &=0 \end{aligned}$

を得、これにより

$\begin{aligned} dW_tdW_t^{\prime}=0 \end{aligned}$

である。これを用いることで

$\begin{aligned} df(X_t)=&f^{\prime}(X_t)dX_t+\displaystyle{\frac{1}{2}}f^{\prime\prime}(X_t)dX_tdX_t\\ df(X_t,Y_t)=&\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x}}(X_t,Y_t)dX_t+\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial y}}(X_t,Y_t)dY_t\\ &+\displaystyle{\frac{1}{2}}\left(\displaystyle{\frac{\partial^2 }{\partial x^2}}(X_t,Y_t)dX_tdX_t+2\displaystyle{\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}}dX_tdY_t\right.\\ &+\left.\displaystyle{\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}}(X_t,Y_t)dY_tdY_t\right) \end{aligned}$

が得られる。特に $f(x,y)=xy$ であれば、

$\begin{aligned} d(X_tY_t)=Y_tdX_t+X_tdY_t+dX_tdY_t \end{aligned}$

である。
　同様に

$\begin{aligned} \displaystyle{\int_0^t f(W_s)(dW_s)^2}&:=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^n f(W_{t_{i-1}})\left(W_{t_i}-W_{t_{i-1}}\right)^2}\\ &=\displaystyle{\int_0^t f(W_s)ds} \end{aligned}$

を示すことができる。これは、

$\begin{aligned} f(W_{t_i})-f(W_{t_{i-1}})\approx f^{\prime}(W_{t_{i-1}})\left(W_{t_i}-W_{t_{i-1}}\right)+\displaystyle{\frac{1}{2}}f^{\prime\prime}(W_{t_{i-1}})\left(f(W_{t_i})-f(W_{t_{i-1}})\right)^2 \end{aligned}$

の両辺を $i=1,\cdots,n$ に対して総和を取った上で極限を取ると

$\begin{aligned} f(W_{t})-f(W_{t_{0}})=\displaystyle{\int_0^t f^{\prime}(W_s)dW_s}+\displaystyle{\frac{1}{2}\int_0^t f^{\prime\prime}(W_s)dW_s} \end{aligned}$

を得る。これの微分形は

$\begin{aligned} df(W_t)=f^{\prime}(W_t)dW_t+\displaystyle{\frac{1}{2}}f^{\prime\prime}(W_t)dt \end{aligned}$

と書くことができる。また

$\begin{aligned} \displaystyle{\int_0^t dW_s ds}&=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^{n}(W_{t_i}-W_{t_{i-1}})\frac{t}{n}}\\ &=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^{n}\sqrt{\frac{t}{n}}X_t\frac{t}{n}}\\ &=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{t\sqrt{t}}{\sqrt{n}}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\sqrt{\frac{t}{n}}X_t}\\ &=0\cdot E\left[X_1\right]\\ &=0 \end{aligned}$

であるから、 $dW_tdt=0$ である。また

$\begin{aligned} \displaystyle{\int_0^t ds ds}&=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^{n}\left(t_i-t_{i-1}\right)^2}\\ &=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^{n}\left(\displaystyle{\frac{t}{n}}\right)^2}\\ &=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\displaystyle{\frac{t^2}{n}}}\\ &=0 \end{aligned}$

であることに注意する。

伊藤の公式　 $W_t$ を $\mathrm{Brown}$ 運動とする。このとき

$\begin{aligned} \displaystyle{\int_0^t \left(dW_s\right)^2}=&\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^{n}\left(W_{t_i}-W_{t_{i-1}}\right)^2}=t\\ df(X_t)=&f^{\prime}(X_t)dX_t+\displaystyle{\frac{1}{2}}f^{\prime\prime}(X_t)dX_tdX_t\\ df(X_t,Y_t)=&\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x}}(X_t,Y_t)dX_t+\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial y}}(X_t,Y_t)dY_t\\ &+\displaystyle{\frac{1}{2}}\left(\displaystyle{\frac{\partial^2 }{\partial x^2}}(X_t,Y_t)dX_tdX_t+2\displaystyle{\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}}dX_tdY_t\right.\\ &+\left.\displaystyle{\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}}(X_t,Y_t)dY_tdY_t\right)\\ df(W_t)=&f^{\prime}(W_t)dW_t+\displaystyle{\frac{1}{2}}f^{\prime\prime}(W_t)dt \end{aligned}$

が成り立つ。

例

$d\left(W_t^2\right)$
　 $f(x)=x^2$ として伊藤の公式を適用することで、
$\begin{aligned}d\left(W_t^2\right)=2W_tdW_t+\displaystyle{\frac{1}{2}2}dt=2W_tdW_t+dt\end{aligned}$

$de^{W_t}$
$\begin{aligned}d\left(e^{W_t}\right)=e^{W_t}dW_t+\displaystyle{\frac{1}{2}e^{W_t}dt}\end{aligned}$