「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

一流の大人(ビジネスマン、政治家、リーダー…)として知っておきたい、教養・社会動向を意外なところから取り上げ学ぶことで“気付く力”を伸ばすブログです。目下、データ分析・語学に力点を置いています。今月(2022年10月)からは多忙につき、日々の投稿数を減らします。

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ファイナンスのための確率過程を丁寧に(05/X)

 ファイナンスのために基礎から

を基に確率過程を学んでいきます。

5. ブラウン運動マルチンゲール

5.3 伊藤の公式


\mathrm{Brown}運動の差分の性質 W_t\mathrm{Brown}運動とし、0=t_0\lt t_1\lt\cdots\lt t_n=t,t_i-t_{i-1}=\displaystyle{\frac{t}{n}}とおく。このとき


\begin{aligned}
\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\left(W_{t_i}-W_{t_{i-1}}\right)^2}\rightarrow t(n\rightarrow\infty)
\end{aligned}

が成り立つ。

(\because \mathrm{Brown}運動の定義から、W_{t_i}-W_{t_{i-1}}\sim N\left(0,t_{i}-t_{i-1}\right)で、正規分布の性質およびt_i-t_{i-1}=\displaystyle{\frac{t}{n}}に注意すれば、


\begin{aligned}
X_i=\displaystyle{\frac{W_{t_i}-W_{t_{i-1}}}{\sqrt{\displaystyle{\frac{t}{n}}}}}
\end{aligned}

と定義すると、すべてのi=1,2,\cdots,nに対してX_iは互いに独立かつ標準正規分布に従う。したがって


\begin{aligned}
\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\left(W_{t_i}-W_{t_{i-1}}\right)^2}=\displaystyle{\frac{t}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i^2}\rightarrow t(n\rightarrow\infty)
\end{aligned}

である。 \blacksquare)


 これを


\begin{aligned}
\displaystyle{\int_0^t \left(dW_s\right)^2}=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^{n}\left(W_{t_i}-W_{t_{i-1}}\right)^2}=t
\end{aligned}

と書き、更にこれらの微分形として


\begin{aligned}
\left(dW_t\right)^2=dt
\end{aligned}

とも書く。

例:


\begin{aligned}
\displaystyle{\int_0^t W_s dW_s}=\displaystyle{\frac{W_t^2-t}{2}}
\end{aligned}

が成り立つ。実際、0=t_0\lt t_1\lt\cdots\lt t_n=t,t_i-t_{i-1}=\displaystyle{\frac{t}{n}}として


\begin{aligned}
\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}W_{t_{i-1}}\left(W_{t_i}-W_{t_{i-1}}\right)}&=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\frac{\left\{W_{t_{i-1}}-W_{t_i}+\left(W_{t_i}-W_{t_{i-1}}\right)\right\}}{2}}\left(W_{t_i}-W_{t_{i-1}}\right)\\
&=\displaystyle{\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}\left(W_{t_i}-W_{t_{i-1}}^2\right)}-\displaystyle{\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}\left(W_{t_i}-W_{t_{i-1}}\right)^2}\\
&=\displaystyle{\frac{1}{2}\left(W_{t}-W_{t_{0}}^2\right)}-\displaystyle{\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}\left(W_{t_i}-W_{t_{i-1}}\right)^2}\\
&=\displaystyle{\frac{W_t^2-t}{2}}
\end{aligned}

である。

 またW_t,W_t^{\prime}をそれぞれ独立な\mathrm{Brown}運動とすれば、


\begin{aligned}
\displaystyle{\int_0^t dW_t dW_t^{\prime}}=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\left(W_{t_i}-W_{t_{i-1}}\right)\left(W_{t_i}^{\prime}-W_{t_{i-1}}^{\prime}\right)}\\
\end{aligned}

であり、X_i=\displaystyle{\frac{W_{t_i}-W_{t_{i-1}}}{\sqrt{\displaystyle{\frac{t}{n}}}}},X_i^{\prime}=\displaystyle{\frac{W_{t_i}^{\prime}-W_{t_{i-1}}^{\prime}}{\sqrt{\displaystyle{\frac{t}{n}}}}}とおけば


\begin{aligned}
\displaystyle{\int_0^t dW_t dW_t^{\prime}}&=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{t}{n}\sum_{i=1}^{n}X_iX_i^{\prime} }\\
&=t E\left[X_iX_i^{\prime}\right]\\
&=t E\left[X_i\right]E\left[X_i^{\prime}\right]\\
&=0
\end{aligned}

を得、これにより


\begin{aligned}
dW_tdW_t^{\prime}=0
\end{aligned}

である。これを用いることで


\begin{aligned}
df(X_t)=&f^{\prime}(X_t)dX_t+\displaystyle{\frac{1}{2}}f^{\prime\prime}(X_t)dX_tdX_t\\
df(X_t,Y_t)=&\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x}}(X_t,Y_t)dX_t+\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial y}}(X_t,Y_t)dY_t\\
&+\displaystyle{\frac{1}{2}}\left(\displaystyle{\frac{\partial^2 }{\partial x^2}}(X_t,Y_t)dX_tdX_t+2\displaystyle{\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}}dX_tdY_t\right.\\
&+\left.\displaystyle{\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}}(X_t,Y_t)dY_tdY_t\right)
\end{aligned}

が得られる。特にf(x,y)=xyであれば、


\begin{aligned}
d(X_tY_t)=Y_tdX_t+X_tdY_t+dX_tdY_t
\end{aligned}

である。
 同様に


\begin{aligned}
\displaystyle{\int_0^t f(W_s)(dW_s)^2}&:=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^n f(W_{t_{i-1}})\left(W_{t_i}-W_{t_{i-1}}\right)^2}\\
&=\displaystyle{\int_0^t f(W_s)ds}
\end{aligned}


を示すことができる。これは、


\begin{aligned}
f(W_{t_i})-f(W_{t_{i-1}})\approx f^{\prime}(W_{t_{i-1}})\left(W_{t_i}-W_{t_{i-1}}\right)+\displaystyle{\frac{1}{2}}f^{\prime\prime}(W_{t_{i-1}})\left(f(W_{t_i})-f(W_{t_{i-1}})\right)^2
\end{aligned}

の両辺をi=1,\cdots,nに対して総和を取った上で極限を取ると


\begin{aligned}
f(W_{t})-f(W_{t_{0}})=\displaystyle{\int_0^t f^{\prime}(W_s)dW_s}+\displaystyle{\frac{1}{2}\int_0^t f^{\prime\prime}(W_s)dW_s}
\end{aligned}

を得る。これの微分形は


\begin{aligned}
df(W_t)=f^{\prime}(W_t)dW_t+\displaystyle{\frac{1}{2}}f^{\prime\prime}(W_t)dt
\end{aligned}

と書くことができる。また


\begin{aligned}
\displaystyle{\int_0^t dW_s ds}&=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^{n}(W_{t_i}-W_{t_{i-1}})\frac{t}{n}}\\
&=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^{n}\sqrt{\frac{t}{n}}X_t\frac{t}{n}}\\
&=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{t\sqrt{t}}{\sqrt{n}}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\sqrt{\frac{t}{n}}X_t}\\
&=0\cdot E\left[X_1\right]\\
&=0
\end{aligned}

であるから、dW_tdt=0である。また


\begin{aligned}
\displaystyle{\int_0^t ds ds}&=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^{n}\left(t_i-t_{i-1}\right)^2}\\
&=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^{n}\left(\displaystyle{\frac{t}{n}}\right)^2}\\
&=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\displaystyle{\frac{t^2}{n}}}\\
&=0
\end{aligned}

であることに注意する。



伊藤の公式 W_t\mathrm{Brown}運動とする。このとき


\begin{aligned}
\displaystyle{\int_0^t \left(dW_s\right)^2}=&\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^{n}\left(W_{t_i}-W_{t_{i-1}}\right)^2}=t\\
df(X_t)=&f^{\prime}(X_t)dX_t+\displaystyle{\frac{1}{2}}f^{\prime\prime}(X_t)dX_tdX_t\\
df(X_t,Y_t)=&\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x}}(X_t,Y_t)dX_t+\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial y}}(X_t,Y_t)dY_t\\
&+\displaystyle{\frac{1}{2}}\left(\displaystyle{\frac{\partial^2 }{\partial x^2}}(X_t,Y_t)dX_tdX_t+2\displaystyle{\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}}dX_tdY_t\right.\\
&+\left.\displaystyle{\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}}(X_t,Y_t)dY_tdY_t\right)\\
df(W_t)=&f^{\prime}(W_t)dW_t+\displaystyle{\frac{1}{2}}f^{\prime\prime}(W_t)dt
\end{aligned}

が成り立つ。

  • d\left(W_t^2\right)

     f(x)=x^2として伊藤の公式を適用することで、

    \begin{aligned}d\left(W_t^2\right)=2W_tdW_t+\displaystyle{\frac{1}{2}2}dt=2W_tdW_t+dt\end{aligned}
  • de^{W_t}

    \begin{aligned}d\left(e^{W_t}\right)=e^{W_t}dW_t+\displaystyle{\frac{1}{2}e^{W_t}dt}\end{aligned}


 伊藤の公式は連続時間に対しても\mathrm{Doob}-\mathrm{Meyer}分解を与える:


\begin{aligned}
f(W_t)-f(W_0)=\displaystyle{\int_0^t f^{\prime}(W_s)}dW_s+\displaystyle{\frac{1}{2}\int_0^t f^{\prime\prime}(W_s)}ds
\end{aligned}

である。

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