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やりなおしの数学・微分積分篇(62/X)

 以下の書籍を参考に、改めて微分積分を復習していく。

今日のまとめ

  • \mathit{\Omega}が凸でない場合、\mathrm{rot\ }\boldsymbol{V}=0であっても閉曲線\vec{C}に対して\displaystyle{\int_{\vec{C}}\boldsymbol{V}\cdot d\boldsymbol{x}}=0が成立するとは限らない。

10. ベクトル解析

 本節ではベクトル値写像を扱う。

10.4 Gaussの発散定理、Stokesの定理

10.4.4 Gaussの発散定理、Stokesの定理の応用

 \mathit{\Omega}が凸でない場合、\mathrm{rot\ }\boldsymbol{V}=0であっても閉曲線\vec{C}に対して\displaystyle{\int_{\vec{C}}\boldsymbol{V}\cdot d\boldsymbol{x}}=0が成立するとは限らない。
 たとえば\mathit{\Omega}\subset\mathbb{R}^2\cap\{(0,0)\}^Cとして



\begin{aligned}
\boldsymbol{V}(x,y)=\displaystyle{\frac{1}{x^2+y^2}}\begin{bmatrix}-y\\x\end{bmatrix}
\end{aligned}

とおく。このとき


\begin{aligned}
\mathrm{rot}\ \boldsymbol{V}&=\displaystyle{\frac{\partial}{\partial x}}\left(\displaystyle{\frac{x}{x^2+y^2}}\right)-\displaystyle{\frac{\partial}{\partial y}}\left(\displaystyle{\frac{-y}{x^2+y^2}}\right)\\
&=\displaystyle{\frac{(x^2+y^2)-2x^2}{(x^2+y^2)^2}}+\displaystyle{\frac{(x^2+y^2)-2y^2}{(x^2+y^2)^2}}\\
&=0
\end{aligned}

である。しかし\boldsymbol{\gamma}(\theta)=(\cos\theta,\sin\theta):[0,2\pi]\rightarrow\mathit{\Omega}により表されるような閉曲線\vec{C}に対して


\begin{aligned}
\displaystyle{\int_{\vec{C}}\boldsymbol{V}\cdot d\boldsymbol{x}}&=
\displaystyle{\int_{\vec{C}}\left(\displaystyle{\frac{-y}{x^2+y^2}}\right)dx+\left(\displaystyle{\frac{x}{x^2+y^2}}\right)dy}\\
&=\displaystyle{\int_{0}^{2\pi}(\sin^2\theta+\cos^2\theta)d\theta}\\
&=2\pi\neq0
\end{aligned}

である。

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