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やりなおしの数学・微分積分篇（62/X）

やりなおしの数学 数学 微分積分

　以下の書籍を参考に、改めて微分積分を復習していく。

理工系のための微分積分〈2〉

理工系のための微分積分〈2〉

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今日のまとめ

  • \mathit{\Omega}が凸でない場合、\mathrm{rot\ }\boldsymbol{V}=0であっても閉曲線\vec{C}に対して\displaystyle{\int_{\vec{C}}\boldsymbol{V}\cdot d\boldsymbol{x}}=0が成立するとは限らない。

10.　ベクトル解析

　本節ではベクトル値写像を扱う。

10.4　Gaussの発散定理、Stokesの定理

10.4.4　Gaussの発散定理、Stokesの定理の応用

　\mathit{\Omega}が凸でない場合、\mathrm{rot\ }\boldsymbol{V}=0であっても閉曲線\vec{C}に対して\displaystyle{\int_{\vec{C}}\boldsymbol{V}\cdot d\boldsymbol{x}}=0が成立するとは限らない。
　たとえば\mathit{\Omega}\subset\mathbb{R}^2\cap\{(0,0)\}^Cとして


\begin{aligned} \boldsymbol{V}(x,y)=\displaystyle{\frac{1}{x^2+y^2}}\begin{bmatrix}-y\\x\end{bmatrix} \end{aligned}

とおく。このとき

\begin{aligned} \mathrm{rot}\ \boldsymbol{V}&=\displaystyle{\frac{\partial}{\partial x}}\left(\displaystyle{\frac{x}{x^2+y^2}}\right)-\displaystyle{\frac{\partial}{\partial y}}\left(\displaystyle{\frac{-y}{x^2+y^2}}\right)\\ &=\displaystyle{\frac{(x^2+y^2)-2x^2}{(x^2+y^2)^2}}+\displaystyle{\frac{(x^2+y^2)-2y^2}{(x^2+y^2)^2}}\\ &=0 \end{aligned}

である。しかし\boldsymbol{\gamma}(\theta)=(\cos\theta,\sin\theta):[0,2\pi]\rightarrow\mathit{\Omega}により表されるような閉曲線\vec{C}に対して

\begin{aligned} \displaystyle{\int_{\vec{C}}\boldsymbol{V}\cdot d\boldsymbol{x}}&= \displaystyle{\int_{\vec{C}}\left(\displaystyle{\frac{-y}{x^2+y^2}}\right)dx+\left(\displaystyle{\frac{x}{x^2+y^2}}\right)dy}\\ &=\displaystyle{\int_{0}^{2\pi}(\sin^2\theta+\cos^2\theta)d\theta}\\ &=2\pi\neq0 \end{aligned}

である。

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