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時系列解析の基礎(14/XX)

 以下の書籍

を中心に時系列解析を勉強していきます。

7. 見せかけの回帰と共和分

7.4 共和分関係の推定

 共和分関係が期待されるベクトルについて共和分ベクトルを推定する方法を考える。
 最も基本的な方法は、\boldsymbol{a}={}^{t}(1,-\gamma_2,-\gamma_3,\cdots,-\gamma_n)と基準化し、



\begin{aligned}
y_{1,t}=\alpha+\gamma_2y_{2,t}+\cdots+\gamma_{n}y_{n,t}+z_t
\end{aligned}


を最小二乗法で推定する。共和分がある場合、最小二乗推定量Tの速度で真の値に収束する。ただしモデルの特定化に注意する必要がある。
 共和分ベクトルを推定するもう1つの方法は\mathrm{Jogansen}(1988,1991)による\mathrm{VECM}に基づいた最尤法である。システムがh個の共和分関係を持つと仮定し、\mathrm{VECM}に基づいて複数の共和分関係を同時に推定する。
 まず共和分システムが\mathrm{VECM}(p-1)



\begin{aligned}
\Delta\boldsymbol{y}_t=\boldsymbol{\zeta}_{1}\Delta\boldsymbol{y}_{t-1}+\boldsymbol{\zeta}_{2}\Delta\boldsymbol{y}_{t-2}+\cdots+\boldsymbol{\zeta}_{p-1}\Delta\boldsymbol{y}_{t-p+1}+\boldsymbol{\alpha}-B{}^{t}A\boldsymbol{y}_{t-1}+\boldsymbol{\varepsilon}_t
\end{aligned}


で書けると仮定する。ここで{}^{t}A\boldsymbol{y}_{t-1}h個の共和分関係であり、\boldsymbol{\varepsilon}_t\sim\ i.i.d.\ \mathcal{N}(\boldsymbol{0},\boldsymbol{\mathit{\Sigma}})とする。


このとき、たとえば\mathrm{VECM}(1)の対数尤度は



\begin{aligned}
\mathcal{L}(\boldsymbol{\mathit{\Sigma}},\boldsymbol{\zeta}_1,\boldsymbol{\zeta}_2,\cdots,\boldsymbol{\zeta}_{p-1},\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\zeta}_0)=-&\displaystyle{\frac{Tn}{2}\log(2\pi)}-\displaystyle{\frac{T}{2}\log|\mathit{\boldsymbol{\Sigma}}|}\\
 -&\displaystyle{\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{T}\left\{{}^{t}\left(\Delta\boldsymbol{y}_{t}-\boldsymbol{\zeta}_1\Delta\boldsymbol{y}_{t-1}-\boldsymbol{\alpha}+B{}^{t}A\boldsymbol{y}_{t-1}\right)\boldsymbol{\mathit{\Sigma}}^{-1}\right.}\\
&\displaystyle{\times\left.\left(\Delta\boldsymbol{y}_{t}-\boldsymbol{\zeta}\Delta\boldsymbol{y}_{t-1}-\boldsymbol{\alpha}+B{}^{t}A\boldsymbol{y}_{t-1}\right)\right\}}
\end{aligned}


である。これを最大化するような母数を求めるのが最尤法であるが、問題は共和分ベクトルAの推定値をどのようにして得るかである。
 それにはモデルの説明力が最大になるような共和分関係{}^{t}A\boldsymbol{y}_{t-1}を求めればよく、\Delta\boldsymbol{y}_tに関して\Delta\boldsymbol{y}_{t-1}が説明できない部分がA\boldsymbol{y}_{t-1}から\Delta\boldsymbol{y}_{t-1}とは無相関の部分を抽出したものと最大の相関を持つようなAを求めればよい。そのために正準相関を求めればよい。



\mathrm{Johansen}の手段 \Delta\boldsymbol{y}_tに関する\mathrm{VAR}(p-1)モデル

\begin{aligned}\Delta\boldsymbol{y}_{t}=\boldsymbol{\pi}_0+\boldsymbol{\mathit{\Pi}}_1\Delta\boldsymbol{y}_{t-1}+\cdots+\boldsymbol{\mathit{\Pi}}_{p-1}\Delta\boldsymbol{y}_{t-p+1}+\boldsymbol{u}_t\end{aligned}

を推定し、残差を\hat{\boldsymbol{u}}_tとする。

  • \boldsymbol{y}_{t-1}を定数と\Delta\boldsymbol{y}_{t-1},\cdots,\Delta\boldsymbol{y}_{t-p+1}に回帰したモデル

    \begin{aligned}\boldsymbol{y}_{t-1}+\mathit{\boldsymbol{\theta}}+\mathit{\aleph}_{}\Delta\boldsymbol{y}_{}+\cdots+\mathit{\aleph}_{p-1}\Delta\boldsymbol{y}_{t-p+1}+\boldsymbol{v}_{t}\end{aligned}

    を推定し、残差を\hat{\boldsymbol{v}}_tとする。
  • 残差\hat{\boldsymbol{u}}_t,\hat{\boldsymbol{v}}_tの上からh個の正準相関と正準変数を以下の手段により求める。

     (a)最小二乗残差\hat{\boldsymbol{u}}_t,\hat{\boldsymbol{v}}_tの標本分散共分散行列を計算する:

    \begin{aligned}\hat{\boldsymbol{\mathit{\Sigma}}}_{\mathit{V}\mathit{V}}&=\displaystyle{\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}\hat{\boldsymbol{v}}_t{}^{t}\hat{\boldsymbol{v}}_t},\\\hat{\boldsymbol{\mathit{\Sigma}}}_{\mathit{U}\mathit{U}}&=\displaystyle{\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}\hat{\boldsymbol{u}}_t{}^{t}\hat{\boldsymbol{u}}_t},\\\hat{\boldsymbol{\mathit{\Sigma}}}_{\mathit{U}\mathit{V}}&=\displaystyle{\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}\hat{\boldsymbol{u}}_t{}^{t}\hat{\boldsymbol{v}}_t},\\\hat{\boldsymbol{\mathit{\Sigma}}}_{\mathit{V}\mathit{U}}&={}^{t}\hat{\boldsymbol{\mathit{\Sigma}}}_{\mathit{U}\mathit{V}}\end{aligned}

     (b)\hat{\boldsymbol{\mathit{\Sigma}}}_{\mathit{V}\mathit{V}}^{-1}\hat{\boldsymbol{\mathit{\Sigma}}}_{\mathit{V}\mathit{U}}\hat{\boldsymbol{\mathit{\Sigma}}}_{\mathit{U}\mathit{U}}^{-1}\hat{\boldsymbol{\mathit{\Sigma}}}_{\mathit{U}\mathit{V}}の上からh個の固有値\hat{\lambda}_{1}\gt\cdots\gt\hat{\lambda}_{h}とそれに対応する基準化した固有ベクトル\hat{\boldsymbol{a}}_{1},\cdots,\hat{\boldsymbol{a}}_{h}を求める。このときこれらは\hat{\boldsymbol{u}},\hat{\boldsymbol{v}}の上からh個の正準相関と正準変数である。
  • \hat{A}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{a}_1&\boldsymbol{a}_2&\cdots&\boldsymbol{a}_h\end{bmatrix}とする。

7.5 共和分の検定

 共和分関係が1つで未知の場合は、見せかけの回帰で用いた\mathrm{Engle}-\mathrm{Granger}共和分検定を用いることになる。より一般的には、共和分ベクトルを\boldsymbol{a}={}^{t}(1,-\gamma_2,\cdots,-\gamma_n)と基準化し、



\begin{aligned}
y_{1,t}=\alpha+\gamma_{2}y_{2,t}+\cdots+\gamma_{n}y_{n,t}+z_t
\end{aligned}


という回帰モデルから最小二乗残差\hat{z}_tに対して単位根検定を行なう。その結果、単位根の帰無仮説が棄却されれば共和分の帰無仮説を採択し、単位根の帰無仮説が棄却できなければ共和分の帰無仮説を棄却する。棄却された場合、これは見せかけの回帰であることを意味する。
 検定の場合でも、モデルの誤った特定化の問題は存在する。ただし\mathrm{Johansen}(1988,1991)による\mathrm{VECM}に基づいた検定ではそのような問題は無く、さらにシステムが含む共和分の個数を検定できるので便利である。
 \mathrm{VECM}に基づいた検定にはトレース検定と最大固有値検定がある。トレース検定は多くともh個の共和分関係しか存在しないという帰無仮説をすべての変数が定常という対立仮説に対して検定する。この帰無仮説の下では\mathrm{VAR}(p-1)



\begin{aligned}
\Delta\boldsymbol{y}_{t}=\boldsymbol{\pi}_0+\boldsymbol{\mathit{\Pi}}_1\Delta\boldsymbol{y}_{t-1}+\cdots+\boldsymbol{\mathit{\Pi}}_{p-1}\Delta\boldsymbol{y}_{t-p+1}+\boldsymbol{u}_t
\end{aligned}


における誤差項\boldsymbol{u}_tおよび



\begin{aligned}
\boldsymbol{y}_{t-1}+\mathit{\boldsymbol{\theta}}+\mathit{\aleph}_{}\Delta\boldsymbol{y}_{}+\cdots+\mathit{\aleph}_{p-1}\Delta\boldsymbol{y}_{t-p+1}+\boldsymbol{v}_{t}
\end{aligned}


における誤差項\boldsymbol{v}_tの上からh+1個以降の正準相関はすべて0になる。それに対して対立の下ではそれはすべて正になる。したがって\boldsymbol{u}_t,\boldsymbol{v}_tの正準相関を\lambda_1\geq\cdots\geq\lambda_n\geq0とすれば、この仮説検定は



\begin{aligned}
H_0:&\lambda_{h+1}=0\\
H_1:&\lambda_{h+1}\gt0
\end{aligned}


で与えられる。このときの尤度比検定量



\begin{aligned}
CR_{tr}=-T\displaystyle{\sum_{i=h+1}^{n}\log(1-\hat{\lambda}_i)}
\end{aligned}


で、\mathrm{Johansen}は、\mathrm{VECM}と共和分関係が共に定数項とトレンド項を持たないという仮定の下で、その漸近分布が



\begin{aligned}
\boldsymbol{Q}={}^{t}\left[\displaystyle{\int_0^1\boldsymbol{W}(r)\ d{}^{t}\boldsymbol{W}(r)}\right]\left[\displaystyle{\int_0^1\boldsymbol{W}(r)\ d{}^{t}\boldsymbol{W}(r)}\right]^{-1}\left[\displaystyle{\int_0^1\boldsymbol{W}(r)\ d{}^{t}\boldsymbol{W}(r)}\right]
\end{aligned}


という行列のトレースが従う分布に一致することを示している。ここで\boldsymbol{W}(\cdot)n-h次元標準\mathrm{Brown}運動である。
 トレース検定に対して、最大固有値検定は多くともh個の共和分関係しか存在しないという帰無仮説h+1個の共和分関係が存在するという対立仮説に対して検定する。すなわちH_0:\lambda_{h+1}=0H_1:\lambda_{h+1}\gt0に対して検定する。このとき 尤度比検定統計量は



\begin{aligned}
CR_{me}=-T\log(1-\hat{\lambda}_{h+1})
\end{aligned}


で、これの漸近分布は



\begin{aligned}
\boldsymbol{Q}={}^{t}\left[\displaystyle{\int_0^1\boldsymbol{W}(r)\ d{}^{t}\boldsymbol{W}(r)}\right]\left[\displaystyle{\int_0^1\boldsymbol{W}(r)\ d{}^{t}\boldsymbol{W}(r)}\right]^{-1}\left[\displaystyle{\int_0^1\boldsymbol{W}(r)\ d{}^{t}\boldsymbol{W}(r)}\right]
\end{aligned}


の最大固有値が従う分布に一致することが知られている。
 これらは共和分システムが多くともh個の共和分関係しか含まないという帰無仮説を検定することができる。

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