やりなおしの数学・線形代数篇（13/26）

　定番書

作者:齋藤正彦
東京大学出版会

を基に線形代数を学び直していく。

今日のまとめ
4.　線形空間
- 4.6　線形部分空間

今日のまとめ

線形空間 $V$ が $n$ 個の部分空間 $W_1,W_2,\cdots,W_n$ の和空間であり、 ${}^{\forall}v\in V$ を $W_1,\cdots,W_n$ の元の和として表す仕方が一意であるとき、 $V$ は $W_1,W_2,\cdots,W_n$ との直和であるという。これを
$\begin{aligned}V=W_1\oplus W_2 \oplus \cdots\oplus W_n\end{aligned}$
という。

4.　線形空間

4.6　線形部分空間

　線形空間 $V$ が2つの部分空間 $W_1,W_2$ の和空間であり、 ${}^{\forall}v\in V$ を $W_1,W_2$ の元の和として表す仕方が一意であるとき、 $V$ は $W_1,W_2$ との直和という。これを

$\begin{aligned} V=W_1\oplus W_2 \end{aligned}$

と書くこととする。

直和の同値　 $V=W_1\oplus W_2$ に対して以下は同値である。
(1) $V=W_1\oplus W_2$
(2) $W_1\cap W_2=\emptyset$
(3) $\dim V=\dim W_1+\dim W_2$

( $\because$ 　(2),(3)が同値であることは既に示されているから、(1) $\Leftrightarrow$ (2)を示す。
　 $W_1\cap W_2=\emptyset$ を仮定する。 $x\in V$ が2通りに

$\begin{aligned} x=x_1+x_2=x_1^{\prime}+x_2^{\prime},\ x_1,x_1^{\prime}\in W_1,\ x_2,x_2^{\prime}\in W_2 \end{aligned}$

と表されるとき、

$\begin{aligned} x_1-x_1^{\prime}=x_2^{\prime}-x_2 \end{aligned}$

が成り立つ。左辺は $W_1,\$ 右辺は $W_2$ の元であるから、共に $W_1\cap W_2$ の元、すなわち $\boldsymbol{0}$ である。したがって $V$ は $W_1,W_2$ の直和ではない。
　逆に $W_1\cap W_2$ に $\boldsymbol{0}$ でない元 $a$ が存在するならば、