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やりなおしの数学・線形代数篇(13/26)

 定番書

を基に線形代数を学び直していく。

今日のまとめ

  • 線形空間Vn個の部分空間W_1,W_2,\cdots,W_nの和空間であり、{}^{\forall}v\in VW_1,\cdots,W_nの元の和として表す仕方が一意であるとき、VW_1,W_2,\cdots,W_nとの直和であるという。これを
    \begin{aligned}V=W_1\oplus W_2 \oplus \cdots\oplus W_n\end{aligned}
    という。

4. 線形空間

4.6 線形部分空間

 線形空間Vが2つの部分空間W_1,W_2の和空間であり、{}^{\forall}v\in VW_1,W_2の元の和として表す仕方が一意であるとき、VW_1,W_2との直和という。これを


\begin{aligned}
V=W_1\oplus W_2
\end{aligned}

と書くこととする。


直和の同値 V=W_1\oplus W_2に対して以下は同値である。
(1)V=W_1\oplus W_2
(2)W_1\cap W_2=\emptyset
(3)\dim V=\dim W_1+\dim W_2
(\because (2),(3)が同値であることは既に示されているから、(1)\Leftrightarrow(2)を示す。
 W_1\cap W_2=\emptysetを仮定する。x\in Vが2通りに

\begin{aligned}
x=x_1+x_2=x_1^{\prime}+x_2^{\prime},\ x_1,x_1^{\prime}\in W_1,\ x_2,x_2^{\prime}\in W_2
\end{aligned}

と表されるとき、


\begin{aligned}
x_1-x_1^{\prime}=x_2^{\prime}-x_2
\end{aligned}

が成り立つ。左辺はW_1,\ 右辺はW_2の元であるから、共にW_1\cap W_2の元、すなわち\boldsymbol{0}である。したがってVW_1,W_2の直和ではない。
 逆にW_1\cap W_2\boldsymbol{0}でない元aが存在するならば、


\begin{aligned}
\boldsymbol{0}=\boldsymbol{0}+\boldsymbol{0}=a+(-a)
\end{aligned}

と2通りの分解を与えるから、VW_1,W_2の直和ではない。 \blacksquare)

 Vの部分空間W_1,\cdots,W_kがあり、{}^{\forall}x\in VW_1,\cdots,W_kの元の和として表されるとき、VW_1,\cdots,W_kの和空間といい、


\begin{aligned}
V=W_1+W_2+ \cdots+ W_k
\end{aligned}

である。このとき


\begin{aligned}
\dim V \leq \dim W_1+\dim W_2+\cdots+\dim W_k
\end{aligned}

が成り立つ。特に等号が成り立つとき、


\begin{aligned}
V=W_1\oplus W_2\oplus \cdots\oplus W_k
\end{aligned}

を直和という。

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