金融工学でのモンテカルロ法(04/23)：一般の分布に従う乱数(1) - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　今回から、金融工学におけるシミュレーションについて学んでいく。テキストとして以下を使う。今回はP.41-P.52まで。

モンテカルロ法の金融工学への応用 (シリーズ現代金融工学)

作者:祥二, 湯前,輝好, 鈴木
朝倉書店

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4. 一般の分布に従う乱数
次回

4. 一般の分布に従う乱数

　モンテカルロ法は

問題に沿った（同時）分布に従う（多変量）乱数列の生成
その乱数列を使った計算

の2つの部分に分けて考えられる。乱数列の生成は更に

.一様分布に従う乱数列 $\{u_1,u_2,\cdots,u_n\}$ の生成
.それを元にした必要な同時分布に従う乱数列 $\{\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\cdots,\boldsymbol{x}_n\}$ の生成

に分けられる。

4.1 $1$ 変量乱数列

　一様乱数列 $\{U_n\}$ から一般の1変数乱数列を生成する。

4.1.1 逆関数法

　逆関数法は分布関数 $F$ に従う確率変数 $X$ が $F$ によって一様分布 $U(0,1)$ に従う確率変数 $U$ に変換され、逆に $U$ が分布関数の（擬）逆関数 $F^{-1}$ によって $X$ に変換されることを活用して $F$ に従う乱数列を生成する方法である。

　 $X\sim F$ とし、また $F^{(-1)}$ を

$\begin{aligned} F^{(-1)}(\alpha)=\inf\{x: F(x)\geq\alpha\} \end{aligned}$

で定義する。これを擬逆関数（quasi-inverse function）という。さらに $U\sim U(0,1)$ とするとき、

$F^{(-1)}(U)\sim F$
$F(X)\sim U(0,1)$

が成り立つ。
　実際、確率変数 $X$ が狭義単調増加かつ連続な分布関数 $F(x)$ に従うとする。このとき

$\begin{aligned} P(\{F(x)\leq x\})&=P(\{X\leq F^{(-1)}(x)\}),\ 0\leq x\leq 1\\ &=F(F^{(-1)}(x))\\ &=(F\cdot F^{(-1)})(x)\\ &=x \end{aligned}$

これは $F(X)$ の分布関数が一様分布の分布関数に等しいことを意味する。逆に $Y\sim U(0,1)$ を基に $X=F^{(-1)}(Y)$ とすれば、 $X\sim F$ である。

4.1.2　逆関数法の例：一様分布

　 $U\sim(a,b),\ a\lt b$ の分布関数は

$\begin{aligned} F_{U}(x)=\displaystyle{\frac{x-a}{b-a}},\ a\lt x\lt b \end{aligned}$

であるから、その逆関数は

$\begin{aligned} x=\displaystyle{\frac{F_{U}^{(-1)}(x)-a}{b-a}},\ a\lt x\lt b \end{aligned}$

を満たすから、 $F^{(-1)}(x;a,b)=(b-a)x+a,\ 0\lt x\lt 1$ が成り立つ。

4.2 採択棄却法

　採択棄却法は平面上のある部分に一様に分布する点列（2変量乱数列）から一般の分布に従う1変量乱数列を生成する方法である。
　連続確率変数 $X$ の分布関数 $F(x)$ について $0,\ x\lt a$ , $1,\ b \lt x$ が成り立つ。また確率密度関数について $f(x)\leq c$ である。 $(x,y)$ 平面上の $x$ 軸と $y=f(x)$ に囲まれた部分に $N$ 個の点からなる集合 $\{(x_i,y_i)\}$ が一様に分布しているとする。そこでそれぞれの点の $x$ 座標の値だけを取り出した $\{x_i\}$ は確率密度関数 $f(x)$ の値が大きい部分には多く、小さい部分には少なく分布している。そこで $x$ 軸と $x=a,\ x=d,\ (a\lt d\lt b)$ 、 $f(x)$ に囲まれた部分にある点の個数を $N$ で割ることにより、 $F(d)$ の近似値を得ることが出来る。
　具体的には、

(1)	4点 $(a,0),\ (a,c),\ (b,c),\ (b,0)$ を頂点とする長方形に一様に分布する点列 $\{x_i,y_i\}$ を用意する。
(2)	$y_i$ と $f(x_i)$ を比較し、　(a) $y_i\gt f(x_i)$ ならばその点を捨てる　　(b) $y_i\leq f(x_i)$ ならばその点を採用する。
(3)	$i$ を1つずつ増やしながら(2)を繰り返す。採用した点の $x_i$ を取り出して順番に並べることで数列 $\{x_j\}$ を得る。

という手順を辿る。ただし密度関数によっては棄却する点の割合が多くなるために効率性は悪い。

4.2.1 採択棄却法の例

確率変数 $X$ の確率密度関数

${\displaystyle \begin{eqnarray} f(x)=\left\{ \begin{array}{l} 3x^2,\ 0\leq x\leq1,\\ 0,\ x\lt0,\ 1\lt x \end{array} \right. \end{eqnarray} }$

の分布p関数 $F$ に従う乱数列を採択棄却法によって得ることにする。

(1)	4点 $(0,0),\ (0,3),\ (1,3),\ (1,0)$ を頂点とする長方形に一様に分布する点列 $\{x_i,y_i\}$ を用意する。
(2)	$u_i\leq3{u_i}^2$ のときに $u_i$ を採用する。
(3)	(2)を繰り返して点列 $\{u_i\}$ を得る。

4.3 多変量乱数列

4.3.1 超立方体に一様に分布する点列

　一般に周辺分布が定まっても同時分布は一意には定まらない。したがって確率ベクトルについて各成分を成す確率変数を生成しても同時分布に従う確率ベクトルを得ることは一般にはできない。

多変量の離散確率ベクトル $(X^{(1)},\cdots,X^{(k)})$ に対し

$\begin{aligned} P(X^{(1)}=x^{(1)},\cdots,X^{(k)}=x^{(k)},\cdots)=\prod_{i=1}^{k}P(X^{i}=x^{i}) \end{aligned}$

が成り立つとき、 $X^{(1)},\cdots,X^{(k)}$ はそれぞれ互いに独立であるという。
　連続の場合は

$\begin{aligned} f(x^{(1)},\cdots,x^{(k)},\cdots)=\prod_{i=1}^{k}f(x^{i}) \end{aligned}$

が成り立つとき、 $X^{(1)},\cdots,X^{(k)}$ はそれぞれ互いに独立であるという。
　 $\{\boldsymbol{x}_n\}=\{(x_n^{(1)},\cdots x_n^{(k)})\}$ を $k$ 次元超立方体 $\left(0,1\right)^k$ に一様に分布する点列であるとする。このとき $i$ 次元を取り出した列 $x_n^{(i)}$ の分布は他の分布を取り出した列に依存しないから、 $\boldsymbol{x}$ の各次元の列は互いに独立である。
　超立方体 $\left(0,1\right)^k$ 内に一様に分布する点列 $\boldsymbol{x}_n$ は以下の手続きで得られる：

(1)	一様乱数に従う乱数列 $\{u_n\}$ を生成する。
(2)	乱数列の最初の $k$ 個を取り出して $\boldsymbol{x}_1=(u_1,\cdots,u_k)$ とする。
(3)	$\boldsymbol{x}_2=(u_2,\cdots,u_{k+1})$ とする。
(4)	以降を繰り返して $\boldsymbol{x}_3,\boldsymbol{x}_4\cdots$ を得る。

4.3.2　一般の多次元分布

　2次元確率ベクトル $(X,Y)$ について一般の場合には、条件付き分布が既知であるという前提の下で、条件付き分布法を用いて $k$ 次元の独立でない確率変数 $\boldsymbol{X}^{(1)},\cdots,\boldsymbol{X}^{(k)}$ の同時分布に従う点列が得られる：

(1)	$k$ 次元超立方体 $(0,1)^k$ に一様に分布する点列 $\{(u_n^{(1)},\cdots,u_n^{(k)})\}$ を生成する。
(2)	$u_1^{(1)}$ から $X^{(1)}$ の周辺分布を用いて $x_1^{(1)}$ を得る。
(3)	$u_1^{(2)}$ から $X^{(1)}=x_1^{(1)}$ の条件下での $X^{(2)}$ の条件付き分布 $x_1^{(2)}$ を得る。
(4)	以上を繰り返して $(x_1^{(1)},\cdots,x_1^{(k)})$ を得る。
(5)	以上を繰り返して $(x_n^{(1)},\cdots,x_n^{(k)})$ を得る。

　周辺分布がすべて区間 $(0,1)$ 上の一様分布となるような多変量分布をコピュラ*1という。2次元コピュラにはたとえば以下がある：

Fréche-Hoeffding上限： $M(u,v)=\min{(u,v)}$
Fréche-Hoeffding下限： $W(u,v)=\max{(u+v-1,0)}$
積コピュラ： $\Pi(u,v)=uv$

　このコピュラに関してはSklarの定理が有用である：

　2次元の同時分布 $H$ とし、その周辺分布をそれぞれ $F,\ G$ とする。このとき $^{\forall}x,y\in\mathbb{R}$ について
$\begin{aligned} H(x,y)=C(F(x),G(y)) \end{aligned}$
を満たすようなコピュラ $C$ が存在する。もし $F,\ G$ が共に連続ならば、このコピュラ $C$ は一意に定まる。

　また

　2次元の同時分布を $H$ とし、その連続な周辺分布を $F,\ G$ とする。このときあるコピュラ $C$ が存在し、 $^{\forall}x,y\in\mathbb{R}$ に対して
$\begin{aligned} C(u,v)=H(F^{-1}(x),G^{-1}(y)) \end{aligned}$
が成り立つ。

なおこれらは $2$ 以上の一般の多次元においても成り立つ。
　以上を活用すれば一般の多次元分布に従う多変量乱数列を生成できる。コピュラ $C$ および周辺分布 $F^{(k)}(x)$ が分かっていれば、次の方法で $k$ 次元の独立でない同時分布に従う点列が得られる：

(1)	$k$ 次元超立方体 $(0,1)^k$ に一様に分布する点列 $\{u_n^{(1)},\cdots,u_n^{(k)}\}$ を生成する。
(2)	コピュラの条件付き分布を用いて、周辺分布は一様分布であるものの $(0,1)^k$ では一様に分布しない点列 $\{x_n^{(1)},\cdots,x_n^{(k)}\}$ を生成する。
(3)	Sklarの定理および周辺分布 $F^{(k)}(x)$ 、 $\{x_n^{(1)},\cdots,x_n^{(k)}\}$ から求める同時分布に従う $\begin{aligned}\{y_n^{(1)},\cdots,y_n^{(k)}\}\end{aligned}$ を生成する。