今回から、金融工学におけるシミュレーションについて学んでいく。テキストとして以下を使う。今回はP.52-P.58まで。
4. 一般の分布に従う乱数
- 問題に沿った(同時)分布に従う(多変量)乱数列の生成
- その乱数列を使った計算
の2つの部分に分けて考えられる。乱数列の生成は更に
- 一様分布に従う乱数列
の生成
- それを元にした必要な同時分布に従う乱数列
の生成
に分けられる。
4.4 正規分布
ここでは特に正規分布に従う乱数の生成方法を説明する。
4.4.1 逆関数法
標準正規分布の分布関数の逆関数を用いると、一様分布に従う乱数列から、標準正規分布に従う乱数列が得られる。ただし、
は解析的に求めることはできないため、Moroの方法などで近似的に算出する*1。
4.4.2 極座標法
2変量の確率変数の同時分布関数が
と書けるとき、は2次元標準正規分布に従うという。2次元標準正規分布では、周辺分布
はいずれも標準正規分布になる。また
は独立である。極座標、一様分布の逆関数法、指数関数の逆関数法を組み合わせると、正方形
に一様に分布する点列から、2次元標準正規分布に従う点列が得られる。
2変量標準正規分布の密度関数の確率密度関数は
で書ける。確率変数に従うとき、
の期待値は
と書ける。またであるとき、
の期待値は、
である。
以上から、確率変数が2次元標準正規分布に従うとき、
の期待値は
で計算できる。
これを活用して2次元標準正規分布に従う乱数を得るにはたとえばBox-Muller法がある*2。
またBox-Muller-Marsaglia法もある。
まず単位円の中に一様に分布する点列をつくり、指数分布の逆関数法を用いて2次元標準正規分布に変換する方法である。
(1) | 正方形 |
(2) | 点列 |
(3) | 点列 |
(4) | 動径方向 |
4.4.3 一般の多次元正規分布
次元確率ベクトル
が
にしたがうとき、である。
であるとき、
を
次元標準正規分布という。
で、
とする。さらに正則行列
を用いて
と表されたとする。このとき、
である。この
は
をCholesky分解することで得られる。
次元分散共分散行列を
、下三角行列
の各要素を
とすれば、
となる。
逆関数法およびCholesky分解を順に用いると次元超立方体
に一様に分布する点列
から、多次元標準正規分布に従う確率変数
を介して、一般の多次元正規分布に従う確率変数
が得られる:
(1) | |
(2) | |
(3) | 欲しい |
(4) | 点列 |