金融工学でのモンテカルロ法(09/23)：分散減少法(4)

　今回から、金融工学におけるシミュレーションについて学んでいく。テキストとして以下を使う。今回はP.77-78まで。

モンテカルロ法の金融工学への応用 (シリーズ現代金融工学)

作者:祥二, 湯前,輝好, 鈴木
朝倉書店

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5. 分散減少法
- 5.6　回帰分析法
次回

5. 分散減少法

　 $\mathrm{Monte\ Carlo}$ 法は

問題に沿った（同時）分布に従う（多変量）乱数列の生成
その乱数列を使った計算

の2つの部分に分けて考えられる。乱数列の生成は更に

一様分布に従う乱数列 $\{u_1,u_2,\cdots,u_n\}$ の生成
それを元にした必要な同時分布に従う乱数列 $\{\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\cdots,\boldsymbol{x}_n\}$ の生成

に分けられる。

　 $\mathrm{Monte\ Carlo}$ 法は高次元問題を取り扱うことはできるものの、誤差を減らすには大きな時間が掛かり時間効率が低い。そこで本章では時間効率を上げるための手段の1つとして分散減少法を説明する。 $\mathrm{Monte\ Carlo}$ 法における解の統計的誤差は点列数 $N$ に対して $k/\sqrt{N}$ に出来る。分散減少法はこの $k$ を減らす試みである。
　 $\mathrm{Monte\ Carlo}$ 法による関数 $f$ の積分値を

$\begin{aligned} E^{*}[f(X)] \end{aligned}$

と書くことにすると、 $\mathrm{Monte\ Carlo}$ 法のアイディアは以下の2つに分けることが出来ると言える：

関数 $f$ を同じ積分値を取る別の関数に置換え
期待値 $E^{*}[\cdot]$ の取り方を変更

関数 $f$ を同じ積分値を取る別の関数に置換え	*期待値 $E^{}[\cdot]$ の取り方を変更**
(1) 負の相関法	(1) 条件付き $\mathrm{Monte\ Carlo}$ 法
(2) 制御変量法	(2) 層別化法
(3) 回帰分析法	(2-1) ラテン・ハイパーキューブ法
(4) マルチンゲール分散法	(2-2) $\mathrm{Curran}$ の方法
	(3) 加重サンプリング法
	(4) 測度変換法

5.6　回帰分析法

　制御変量法を改良した方法で、積分の解を

$\begin{aligned} \hat{m}=\displaystyle{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\{f(\varepsilon_i)-\alpha g(\varepsilon_i)\}+\alpha m_g},\ \alpha\in\mathbb{R} \end{aligned}$

で与える。ここで

$\begin{aligned} Y_i&=f(\varepsilon_i),\\ X_i&=g(\varepsilon_i)-m_g \end{aligned}$

とすると推定量 $\hat{m}$ の誤差分散は

$\begin{aligned} V[\hat{m}]&=V\left[\displaystyle{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}[Y_i-\alpha X_i]}\right]\\ &=\displaystyle{\frac{1}{N}}V[Y-\alpha X]\\ &=\displaystyle{\frac{1}{N}}\left\{V[Y]-2\alpha\mathrm{Cov}[Y,X]+\alpha^2V[X]\right\}\\ \end{aligned}$