金融工学でのモンテカルロ法(02/23)：大数の法則 - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　今回から、金融工学におけるシミュレーションについて学んでいく。テキストとして以下を使う。今回はP.17からP.19まで。

モンテカルロ法の金融工学への応用 (シリーズ現代金融工学)

作者:祥二, 湯前,輝好, 鈴木
朝倉書店

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2. モンテカルロ法の理論的背景
- 2.1 大数の法則
  - 2.1.1 大数の強法則
  - 2.1.2 大数の弱法則
- 2.2 中心極限定理
次回

2. モンテカルロ法の理論的背景

　モンテカルロ法は、乱数により試行を実験的に多数発生させ、その実験値を元に知りたい分布の統計量を得る方法である。その背景には、

多数の試行を実験的に発生させることで、観測値から得た統計量が理論的に欲しい値に近づくことが保障されること
観測値から得た統計量が特定の分布に収束すること

の2つが理論的に保障されていることにある。

2.1 大数の法則

　モンテカルロ法では、試行回数を増やしたときの実現値について、その平均値を取れば元の分布の期待値に近づくと考えている。これを理論的に保障しているのが大数の法則である。
　まず期待値を復習しておこう。実確率変数 $X\sim F_X$ に対して期待値 $E[X]$ は、その分布関数 $F_X(x)$ の確率密度関数（確率質量関数）を $f_{X}(x)$ （ $p(x)$ ）として

${\displaystyle E[X]=\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} &\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}xf_{X}(x)dx} \\ &\displaystyle{\sum_{i=1}^{\infty}x_i p(x_i)} \end{array} \right. \end{eqnarray} }$

で定義する。ただし $E|X|\rightarrow\infty$ ならば期待値は存在しないものとする。

2.1.1 大数の強法則

　さて、確率変数列 $\{X_n(\omega)\}$ について、部分和 $S_{n}$ および標本平均 $\bar{X}_{n}$

$\begin{aligned} \displaystyle{S_{n}=\sum_{k=1}^{n}X_{k}, \ \ \bar{X}_{n}=\frac{S_{n}}{n}} \end{aligned}$

を定義する。このとき以下のKolmogorovの大数の強法則が成り立つ：

　確率変数列 $\{X_n(\omega)\}$ が互いに独立で同一の分布に従うとする。このとき、 $E|X_{1}|\lt\infty$ ならば、
$\begin{aligned} \bar{X}_{n}\rightarrow E[X_{1}]\ \ a.s., \end{aligned}$
すなわち標本平均が期待値に概収束する。
　逆に標本平均 $\bar{X}_{n}$ が $n\rightarrow\infty$ としたときにある値に収束するならば、期待値 $E[X_{1}]$ は存在する。

　概収束について確認しておくと、

　任意の正数 $\varepsilon$ に対して、殆ど至る所の点 $\omega$ で充分に大きいある自然数 $N$ を取ると
$\begin{aligned} n\geq N(\omega) \Rightarrow |X_n(\omega)-X(\omega)|\lt\varepsilon \end{aligned}$
が成り立つこと

だった。
　すなわちこの文脈では、（確率が $0$ になるような事象 $\omega$ は無視した上で）確率変数 $X$ を試行して得た値 $X_1,\cdots,X_n,\cdots$ *1について、試行回数をある数 $N$ よりも大きくすればするほど標本平均 $S_{n}$ は元の分布の期待値 $E[X]$ に近づいていくと解釈できる。ただし概収束では定数に収束するとは限らない（もっともほとんど至る所定数である）。

2.1.2 大数の弱法則

　確率変数 $X$ に対して期待値 $E[(X-E[X])^2]$ を $X$ の分散という。分散との対比で $E[X]$ を $X$ の平均と呼ぶことがある。これを用いて別の大数の法則が導かれる：

　確率変数列 $\{X_n(\omega)\}$ について
$\begin{aligned} m_{n}&=\displaystyle{E[\sum_{i=1}^{n}X_{i}]}\\ \sigma_{n}^2&=\displaystyle{V[\sum_{i=1}^{n}X_{i}]}\lt\infty \end{aligned}$
とおく。 $n\rightarrow\infty$ のときに $\displaystyle{\frac{\sigma_n}{n}}\rightarrow0$ ならば、
$\begin{aligned} \displaystyle{\bar{X}_{n} \rightarrow \frac{m_n}{n}} \end{aligned}$
と確率収束する。

　実際、 $X_1,\cdots,X_n$ は互いに独立かつ同一の分布に従うから、 $E[\bar{X}_n]=\mu, V[\bar{X}_n]=\displaystyle{\frac{\sigma^2}{n}}$ が成り立つ。したがってChebyshevの不等式*2において $t=\varepsilon/\sigma$ として

$\begin{aligned} P\{|\bar{X}_n-\mu|\geq \varepsilon\} \leq \displaystyle{\frac{1}{\varepsilon^2}\frac{\sigma^2}{n}}\rightarrow0(n\rightarrow\infty) \end{aligned}$

である。 $\blacksquare$

　確率収束を復習すれば

　任意の正数 $\varepsilon$ に対して、
$\begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty} P(\{|X(\omega)-X_{n}(\omega)|\gt\varepsilon\})=0 \end{aligned}$
が成り立つこと

であった。さて期待値の性質から $E[X_1+\cdots+X_n]=E[X_1]+\cdots+E[X_n]$ である。したがって $E[X]=\mu$ とすれば、 $n\rightarrow\infty$ のときに $\displaystyle{\frac{\sigma_n}{n}}\rightarrow0$ ならば、

$\begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty} P(\{|\bar{X}_{n}-\mu|\gt\varepsilon\})=0 \end{aligned}$

すなわち標本平均は標本数 $N$ を増やせば増やすほどほぼ間違いなく分布の期待値に一致するということが保障される。

2.2 中心極限定理

　大数の強法則により、モンテカルロ法を無限回施行した場合の平均は、確率 $1$ で元の確率変数の期待値に収束する。中心極限定理は試行の平均が正規分布に従う確率変数に法則収束することを主張する。

　 $\{X_n(\omega)\}$ が互いに独立かつ同一分布に従う確率変数列であるとし、 $E[X_1]=\mu, 0\lt V[X_1]=\sigma^2\lt\infty$ であるとする。このとき
$\begin{aligned} S_n(\omega)=\displaystyle{\frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)}{\sigma\sqrt{n}}}=\displaystyle{\frac{\frac{X_1+\cdots+X_n}{n}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}} \end{aligned}$
の分布関数は標準正規分布の分布関数 $\Phi(x)$ に収束する。

次回

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*1:実際にモンテカルロ法でシミュレーションして値を具体的に得てしまえば、各値は実現値（慣習的に確率変数は大文字、実現値は小文字で書く）である。ただしシミュレーションで得るつもりだという理論的な段階では、未実現値であるから確率変数で表現する。ただしこれらは確率変数 $X$ をシミュレーションしたものであるから、いずれの統計的性質（分布や統計量）はすべて $X$ に一致するはずである。

*2:https://power-of-awareness.com/entry/2021/08/31/050000参照。