ファイナンス練習(2021年09月07日) - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　業務でC#を用いることになったので、最近勉強していなくて朧気になってきた知識をReviseする意味でも、以下の書籍を読みながらC#で実装してみる。統計学については別書で触れたいため大幅にカットします。P.164-170まで（当分は実装なしが続きます）。

EXCEL&VBAで学ぶファイナンスの数理

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6. 確率過程の基礎

6. 確率過程の基礎

6.1 ランダムウォークとブラウン運動

　離散的な時間を考え、時点の集合を $\mathscr{T}=\{0, \Delta t, 2\Delta t,\cdots, , T\Delta t\}$ とする。各 $n$ に対して、確率変数 $X_n$ を

${\displaystyle \begin{eqnarray} X_n= \left\{ \begin{array}{l} 1, 確率p (0\lt p\lt1)\\ -1, 確率1-p \end{array} \right. \end{eqnarray} }$

で定義し、これらは独立である。更に $W_0=0$ として $\{X_n\}$ の部分和

$\begin{aligned} W_n=W(n\Delta t)=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}X_i}, n=0, 1, \cdots, n \end{aligned}$

と考える。この確率過程 $\{W_n\}$ をランダムウォークという。
　ランダムウォークでは、 $X_t=1$ を成功、 $X_t=-1$ を失敗と見なせば、 $T$ 回の試行のうち $k$ 回成功すれば

$\begin{aligned} W_T=2k-T \end{aligned}$

となるので、 $W_T\sim B(T,p)$ である。すなわち

$\begin{aligned} P(\{W_T=2k-T\})=_{T}C_{k}p^{k}(1-p)^{T-k}, k=0,1,\cdots,T \end{aligned}$

である。

6.2 二項モデル

　 $S(t)$ をある時点 $t$ における株価とする。時点 $t$ における株価が $S$ であるときに次の時点 $t+\Delta t$ において確率 $q$ で $S(t+\Delta t)=uS$ となり確率 $(1-q)$ で $S(t+\Delta t)=dS$ になると仮定する（ $0\lt d\lt1\lt u$ ）。このような価格仮定をもつモデルを二項モデルと呼ぶ。

$\begin{aligned} S_n=Su^{(n+W_n)/2}d^{(n-W_n)/2}, n=0,1,2,\cdots,T \end{aligned}$

とすれば二項モデルと整合的である。

6.3 Brown運動

　刻み（ $\Delta t$ ）を無限に小さくしたら（ $\Delta t\rightarrow0$ ）、ランダムウォーク $W_n$ はどのような振る舞いをするだろうか。
　改めて

${\displaystyle \begin{eqnarray} X_n= \left\{ \begin{array}{l} = \Delta x, 確率p (0\lt p\lt1)\\ = -\Delta x, 確率1-p \end{array} \right. \end{eqnarray} }$

とおく（ $\Delta x \gt0$ ）。
　充分に小さな $\Delta x\gt0$ に対して

$\begin{aligned} P(\{X_n=\Delta x\})=1-P(\{X_n=-\Delta x\})=\displaystyle{\frac{1}{2}} \end{aligned}$

とし、 $X_n$ は独立であるとする。また時間間隔 $\Delta t$ と状態間隔 $\Delta x$ が

$\begin{aligned} \Delta t=(\Delta x)^2 \end{aligned}$

を保つものとする。このとき、充分に小さな $\Delta t\gt0$ に対して得られるランダムウォークはBrown運動を近似する。

図1　 $\Delta t=T/N$ として $N=10,000,20,000,30,000$ としたときの
ランダムウォーク
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　 $\Delta t\rightarrow0$ のとき $\Delta x=\sqrt{\Delta t}\rightarrow0$ であるから、Brown運動 $\{x(t)\}$ は連続な経路を持つ連続時間確率過程であり、また

$\begin{aligned} E[X_n]&=\Delta x\cdot P(\{X_n=1\})+(-\Delta x)\cdot P(\{X_n=-1\})\\ &=\displaystyle{\Delta x\cdot\frac{1}{2}-\Delta x\cdot\frac{1}{2}}=0,\\ V[X_n]&=(\Delta x)^2 P(\{X_n=1\})+(\Delta x)^2P(\{X_n=-1\})=\Delta t \end{aligned}$

である。したがって $X_i, i=1,\cdots,n$ が互いに独立であることに注意すれば

$\begin{aligned} E[W_N]&=\displaystyle{E[\sum_{i=1}^{N}X_i]}=\displaystyle{\sum_{i=1}^{N}E[X_i]}=0,\\ V[W_N]&=\displaystyle{V[\sum_{i=1}^{N}X_i]}=\displaystyle{\sum_{i=1}^{N}V[X_i]}=N\Delta t \end{aligned}$

であり、 $N\rightarrow\infty$ のときBrown運動に収束するから、Brown運動 $z(t)\sim N(0,T)$ であることが分かる。
　また $n\lt m$ に対して

$\begin{aligned} W_m-W_n = X_{n+1}+\cdots+X_m \end{aligned}$

であり、 $X_i, i=1,\cdots,n$ が互いに独立であることから、ランダムウォーク、ひいてはBrown運動は任意時点間の差分が独立である。この性質を独立増分という。更に上述と同じ議論から、 $z(t+s)-z(t)\sim N(0,s),$ $t\gt0,s\gt0$ である。
　逆に

増分がそれまでの経路とは独立である
独立増分は正規分布に従う（ $z(t+s)-z(t)\sim N(0,s),t\gt0,s\gt0$ ）、
経路が連続である

ような確率過程はBrown運動のみであることが知られている。
　以上を用いて、Brown運動を以下で定義する：

　連続確率過程 $\{z(t)\}$ が以下の3つの性質を持つとき、Brown運動であるという：

増分 $z(t+s)-z(t), t\gt0, s\gt0$ は $z(t_0), ^{\forall}t_0\lt t$ と独立である。
増分 $z(t+s)-z(t)\sim N(0,s)$ である。
経路 $z(t), ^{\forall}t\geq0$ は連続である。

　以上で示した通り、 $z(t)\sim N(0,t)$ であるから、

$\begin{aligned} X(t):=X(0)+\mu t+\sigma z(t), 0\leq t \leq T \end{aligned}$

で定義される過程 $X(t)-X(0)$ は平均が $\mu t$ 、分散 $\sigma^2 t$ であるような正規分布に従う。このとき、 $t$ をドリフト、 $\sigma$ を拡散係数と呼ぶ。

図2　ドリフトのあるBrown運動のシミュレーション例
（ $\mu_{Year}=2\%$ , $\sigma_{Year}=20\%$ *1）
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*1:年次期待リターン $\mu_{Year}=2\%$ および年次リスク $\sigma_{Year}=20\%$ と見なし、それらを日次 $\mu_D=\displaystyle{\frac{\mu_{Year}}{250}}, \sigma_D=\displaystyle{\frac{\sigma_{Year}}{\sqrt{250}}}$ に変換した。