ファイナンス練習(2021年08月28日) - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　業務でC#を用いることになったので、最近勉強していなくて朧気になってきた知識をReviseする意味でも、以下の書籍を読みながらC#で実装してみる。今日はP.36-47まで。ただし今回は実装なし。

3. 確率論の基礎

3. 確率論の基礎

3.1 二項分布を用いた株価モデル

　確率 $p, 0\lt p \lt1$ で成功、 $1-p$ で失敗を定義できるような出来事を複数回（ $n$ 回）行うような試行を考える（各出来事は影響しない（独立である）ものとする）。そのうち $k, 0\lt k\lt n$ 回成功する確率 $p(k)$ を考える。

$\begin{aligned} p(k)&=_{n}C_kp^{k}(1-p)^{n-k} \end{aligned}$

　株価過程を表現するのに、時刻を離散的に考えて（たとえば毎翌営業日の終値）株価の上昇を成功、下落を失敗と考えることで二項分布を活用できる。すなわち、初期時点 $t=0$ において $S(0)=S_{0}$ である株価 $S(t)$ に対し各期間 $t\gt0$ において確率 $p$ で $u\geq1$ 倍に、確率 $1-p$ で $d\lt1$ 倍になるようにモデル化すれば、
　時点 $T$ において株価が $k$ 回上昇する確率は

$\begin{aligned} p(k)&=_{n}C_kp^{k}(1-p)^{n-k} \end{aligned}$

であり、この時の株価は

$\begin{aligned} S(T)&=S_{0}u^{k}d^{T-k} \end{aligned}$

である。

3.2 Poisson分布を用いた倒産確率のモデル化

　二項分布において $\lambda=np$ を固定したままで $n\rightarrow\infty$ とすれば

$\begin{aligned} p(k)&=_{n}C_kp^{k}(1-p)^{n-k},\\ &=\displaystyle{_{n}C_k{(\frac{\lambda}{n})}^{k}(1-\frac{\lambda}{n})^{n-k}}\\\ &=\displaystyle{\frac{\lambda^{k}}{k!}(1-\frac{\lambda}{n})^{n}\prod_{i=1}^{k-1}(1-\frac{i}{n})(1-\frac{\lambda}{n})^{-k}}\ \end{aligned}$

であるから、 $n\rightarrow\infty$ とすれば

$\begin{aligned} \displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}(1-\frac{\lambda}{n})^n=e^{-\lambda}}\ \end{aligned}$

であること、残りの項は $n\rightarrow\infty$ で $1$ に収束することを踏まえれば、

$\begin{aligned} p(k)\rightarrow\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}, k=0,1,2,\cdots (n\rightarrow\infty) \end{aligned}$

となる。このような形態の確率を持つ分布をポアソン分布 $Po(\lambda)$ という。

　ポアソン分布を用いると、ある基準でグループ化された企業群の1年以内に倒産する企業数の確率をモデル化できる。企業数を $n$ とし、各企業の1年以内の倒産確率を $p$ とすれば、1年以内に倒産する企業数が $k, 0\lt k\lt n$ である確率を

$\begin{aligned} p(k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}, k=0,1,2,\cdots \end{aligned}$

で近似できる。

3.3 正規分布と対数正規分布

　確率密度関数が

$\begin{aligned} f(x)=\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}\exp\{-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^2}\} }\ \end{aligned}$

で表される確率分布を正規分布 $N(\mu,\sigma^2), \sigma>0$ という。
　連続複利表示リターン $X$ について $X\sim N(\mu,\sigma^2)$ であるような資産を考える。このとき資産価格 $Y=e^{X}$ は、 $P\{Y\leq x\}=P\{X\leq\log{x}\}$ が成り立つことに注意すれば

$\begin{aligned} P\{Y\leq x\}&=F_{Y}(x)=\displaystyle{\int_{-\infty}^{x}\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\{-\frac{(y-\mu)^2}{2\sigma^2}\}}dy\\\ &=\displaystyle{\int_{-\infty}^{\log{x}}\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\{-\frac{(y-\mu)^2}{2\sigma^2}\}}dy \end{aligned}$

これを $x$ に関して微分することで

$\begin{aligned} f_{Y}(y)&=\displaystyle{\frac{d}{dx}F_{X}(\log{y})}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}y\sigma}\exp\{-\frac{(\log{y}-\mu)^2}{2\sigma^2}\}, y\gt 0\\\ \end{aligned}$

このような確率密度関数を持つ確率分布を対数正規分布という。
　対数正規分布の平均および分散を確認しておこう*1。 $Y$ の平均を $\mu_{Y}$ ,分散を ${\sigma_{Y}}^2$ とすれば

$\begin{aligned} \mu_{Y}&=E_{Y}[Y]=\displaystyle{\int_{0}^{\infty}y\frac{1}{\sqrt{2\pi}y\sigma}\exp\{-\frac{(\log{y}-\mu)^2}{2\sigma^2}\}}dy\\\ &=\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{0}^{\infty}\exp\{-\frac{(\log{y}-\mu)^2}{2\sigma^2}\}}dy\ \end{aligned}$

ここで $\log{y}=z$ とおくと $y:0\rightarrow\infty$ で $z:-\infty\rightarrow\infty$ および $dy=e^{z}dz$ であるから、

$\begin{aligned} \mu_{Y}&=E_{Y}[Y]=\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{0}^{\infty}\exp\{-\frac{(z-\mu)^2}{2\sigma^2}\}}e^{z}dz\\\ &=\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{0}^{\infty}\exp\{-\frac{(z-\mu)^2-2\sigma^2z}{2\sigma^2}\}}dz\\\ &=\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{0}^{\infty}\exp\{-\frac{\{z-(\mu+\sigma^2)\}^2-2\mu\sigma^2-\sigma^4}{2\sigma^2}\}}dz\\\ &=\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{0}^{\infty}e^{\mu+\frac{1}{2}\sigma^2}\exp\{-\frac{\{z-(\mu+\sigma^2)\}^2}{2\sigma^2}\}}dz\\\ &=\displaystyle{e^{\mu+\frac{1}{2}\sigma^2}}\ \end{aligned}$

である。ここで

$\begin{aligned} \displaystyle{\int_{0}^{\infty}\exp\{-\frac{\{z-(\mu+\sigma^2)\}^2}{2\sigma^2}\}}dz=\sqrt{2\pi}\sigma\\\ \end{aligned}$

を用いた。

　また分散 ${\sigma_{Y}}^2$ は $\log{y}=z$ とおくと $y:0\rightarrow\infty$ で $z:-\infty\rightarrow\infty$ および $dy=e^{z}dz$ であるから、

$\begin{aligned} {\sigma_{Y}}^2&=E_{Y}[Y^2]-(E_{Y}[Y])^2\\ &=\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{0}^{\infty}y\exp\{-\frac{(\log{y}-\mu)^2}{2\sigma^2}\}}dy-e^{2\mu+\sigma^2}\\\ &=\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{0}^{\infty}e^{2z}\exp\{-\frac{(z-\mu)^2}{2\sigma^2}\}}dz-e^{2\mu+\sigma^2}\\\ &=\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{0}^{\infty}\exp\{-\frac{\{z-(\mu+2\sigma^2)\}^2-4\mu\sigma^2-4\sigma^4}{2\sigma^2}\}}dz-e^{2\mu+\sigma^2}\\ &=e^{2\mu+2\sigma^2}\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{0}^{\infty}\exp\{-\frac{\{z-(\mu+2\sigma^2)\}^2}{2\sigma^2}\}}dz-e^{2\mu+\sigma^2}\\ &=e^{2\mu+2\sigma^2}-e^{2\mu+\sigma^2}\\ &=e^{2\mu+\sigma^2}(e^{\sigma^2}-1) \end{aligned}$

である。まとめると、

$Y=e^{X}, X\sim N(\mu, \sigma^2)$ は、対数正規分布に従い、

対数正規分布の平均： $\displaystyle{e^{\mu+\frac{1}{2}\sigma^2}}\$

対数正規分布の分散： $\displaystyle{e^{2\mu+\sigma^2}(e^{\sigma^2}-1)}\$

3.4 一様分布

　確率密度関数 $f_{U}(x)$ が $a\lt b$ を用いて

$\begin{aligned} f_{U}(x)=\displaystyle{\frac{1}{b-a}, a\lt x\lt b}\\\ F_{U}(x)=\displaystyle{\frac{1}{b-a}x, a\lt x\lt b} \end{aligned}$

となるような確率変数 $U$ は一様分布 $U(a,b)$ に従うという。
　特に $a=0, b=1$ とした場合を標準一様分布といい、標準一様分布から乱数を生成することで、確率値を生成することができる。逆関数 $F^{-1}$ が存在するようなある関数 $F_{X}(x)$ および $U\sim U(0,1)$ に対して、 $X=F^{-1}(U)$ とおくと、 $\{X\leq x\}\Leftrightarrow \{F^{-1}(U)\leq x\Leftrightarrow \{U\leq F(x)\}$ であるから、