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本気で学ぶ統計学(10/X)

 統計学を真剣に学ぶ人のために、個人的にまとめているノートを公開する。
 底本として

を用いる。

3. 代表的な一次元確率分布

 有名な1次元確率分布を紹介する。代表値の値や特徴的な性質についても同様に述べることとする。全体に共通して利用できる公式を導出しておく。すなわち


\begin{aligned}
V[X]=E[X^2]-\{E[X]\}^2
\end{aligned}

が成り立つ。

3.2 連続型確率分布

 連続な確率変数Xの従う分布について各種統計量を導出する

3.2.8 t分布

 確率変数X確率密度関数


\begin{aligned}
f_X(x)=\displaystyle{\frac{\Gamma\left(\displaystyle{\frac{n+1}{2}}\right)}{\sqrt{n\pi}\Gamma\left(\displaystyle{\frac{n}{2}}\right)}\left(1+\displaystyle{\frac{x^2}{n}}\right)^{-\frac{n+1}{2}}},n=1,2,\cdots
\end{aligned}

と書けるとき確率変数Xは自由度nt分布t(n)に従うという。また互いに独立な確率変数U\sim N(0,1),V\sim \chi^2(n)に対して確率変数T=\displaystyle{\frac{U}{\sqrt{\displaystyle{\frac{V}{n}}}}}の従う分布でもある*1。なおn=1のときのt分布をとくにCauchy分布(前述)という。

  • 平均:0


\begin{aligned}
E[X]&=\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)}dx\\
&=\displaystyle{\frac{\Gamma\left(\displaystyle{\frac{n+1}{2}}\right)}{\sqrt{n\pi}\Gamma\left(\displaystyle{\frac{n}{2}}\right)}\int_{-\infty}^{\infty}x\left(1+\displaystyle{\frac{x^2}{n}}\right)^{-\frac{n+1}{2}}}dx\\
&=\displaystyle{\frac{\Gamma\left(\displaystyle{\frac{n+1}{2}}\right)}{\sqrt{n\pi}\Gamma\left(\displaystyle{\frac{n}{2}}\right)}\int_{-\infty}^{\infty}\left\{\displaystyle{\frac{n}{2}}\left(1+\displaystyle{\frac{x^2}{n}}\right)\right\}^{\prime}\left(1+\displaystyle{\frac{x^2}{n}}\right)^{-\frac{n+1}{2}}}dx\\
&=\displaystyle{\frac{\Gamma\left(\displaystyle{\frac{n+1}{2}}\right)}{\sqrt{n\pi}\Gamma\left(\displaystyle{\frac{n}{2}}\right)}\left[-\displaystyle{\frac{n-1}{2}}\left(1+\displaystyle{\frac{x^2}{n}}\right)^{-\frac{n-1}{2}}\right]_{-\infty}^{\infty}\\}\\
&=0
\end{aligned}

  • 分散:\displaystyle{\frac{n}{n-2}},n\gt2


\begin{aligned}
V[X]&=\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}(x-E[X])^2 f(x)}dx\\
&=\displaystyle{\frac{\Gamma\left(\displaystyle{\frac{n+1}{2}}\right)}{\sqrt{n\pi}\Gamma\left(\displaystyle{\frac{n}{2}}\right)}\int_{-\infty}^{\infty}x^2 \left(1+\displaystyle{\frac{x^2}{n}}\right)^{-\frac{n+1}{2}}}dx\\
&=\displaystyle{\frac{2\Gamma\left(\displaystyle{\frac{n+1}{2}}\right)}{\sqrt{n\pi}\Gamma\left(\displaystyle{\frac{n}{2}}\right)}\int_{0}^{\infty}x^2\left(1+\displaystyle{\frac{x^2}{n}}\right)^{-\frac{n+1}{2}}}dx
\end{aligned}

ここで\left(1+\displaystyle{\frac{x^2}{n}}\right)^{-1}=uとおくとx^2\geq0より0\leq u\leq1であり


\begin{aligned}
x^2&=nu^{-1} (1-u)\Leftrightarrow x=\sqrt{n}u^{-\frac{1}{2}}(1-u)^{\frac{1}{2}}
\end{aligned}

である。また


\begin{aligned}
\displaystyle{\frac{du}{dx}}&=\displaystyle{\sqrt{n}\frac{d}{dx}\left\{u^{-\frac{1}{2}}(1-u)^{\frac{1}{2}}\right\}}\\
&=-\displaystyle{\sqrt{n}\left\{-\displaystyle{\frac{1}{2}}u^{-\frac{3}{2}}(1-u)^{\frac{1}{2}}-\displaystyle{\frac{1}{2}}u^{-\frac{1}{2}}(1-u)^{-\frac{1}{2}}\right\}}\\
&=-\displaystyle{\frac{\sqrt{n}}{2}u^{-\frac{3}{2}}\left\{(1-u)^{\frac{1}{2}}+u(1-u)^{-\frac{1}{2}}\right\}}\\
&=-\displaystyle{\frac{\sqrt{n}}{2}u^{-\frac{3}{2}}(1-u)^{-\frac{1}{2}}\left\{(1-u)+u\right\}}\\
&=-\displaystyle{\frac{\sqrt{n}}{2}u^{-\frac{3}{2}}(1-u)^{-\frac{1}{2}}}
\end{aligned}

を得る。以上から


\begin{aligned}
\displaystyle{\int_{0}^{\infty}x^2\left(1+\displaystyle{\frac{x^2}{n}}\right)^{-\frac{n+1}{2}}}dx&=\displaystyle{\int_{1}^{0}nu^{-1}(1-u)u^{\frac{n+1}{2}}\left\{-\displaystyle{\frac{\sqrt{n}}{2}}u^{-\frac{3}{2}}(1-u)^{-\frac{1}{2}}\right\}}du\\
&=\displaystyle{\frac{n^{\frac{3}{2}}}{2}\int_{0}^{1}u^{\frac{n}{2}-1-1}(1-u)^{\frac{3}{2}-1}du}\\
&=\displaystyle{\frac{n^{\frac{3}{2}}}{2}}B\left(\displaystyle{\frac{n}{2}}-1,\displaystyle{\frac{3}{2}}\right)
\end{aligned}

である。ここでB(\cdot ,\cdot )はベータ関数である。s,t,\in\mathbb{R}に対してB(s,t+1)=\displaystyle{\frac{t}{s}}B(s+1,t)であるから
s=\displaystyle{\frac{n}{2}}-1,t=\displaystyle{\frac{1}{2}}として


\begin{aligned}
B\left(\displaystyle{\frac{n}{2}}-1,\displaystyle{\frac{3}{2}}\right)=\displaystyle{\frac{\displaystyle{\frac{1}{2}}}{\displaystyle{\frac{n}{2}}-1}}B\left(\displaystyle{\frac{n}{2}},\displaystyle{\frac{1}{2}}\right)=\displaystyle{\frac{1}{n-2}}B\left(\displaystyle{\frac{n}{2}},\displaystyle{\frac{1}{2}}\right)
\end{aligned}

 以上をまとめて


\begin{aligned}
V[X]&=\displaystyle{\frac{2\Gamma\left(\displaystyle{\frac{n+1}{2}}\right)}{\sqrt{n\pi}\Gamma\left(\displaystyle{\frac{n}{2}}\right)}\displaystyle{\frac{n^{\frac{3}{2}}}{2}}\displaystyle{\frac{1}{n-2}}B\left(\displaystyle{\frac{n}{2}},\displaystyle{\frac{1}{2}}\right)}\\
&=\displaystyle{\frac{n}{n-2}\frac{1}{\sqrt{\pi}}\frac{\Gamma\left(\displaystyle{\frac{n+1}{2}}\right)}{\Gamma\left(\displaystyle{\frac{n}{2}}\right)}B\left(\displaystyle{\frac{n}{2}},\displaystyle{\frac{1}{2}}\right)}\\
&=\displaystyle{\frac{n}{n-2}\frac{1}{\sqrt{\pi}}\frac{\Gamma\left(\displaystyle{\frac{n+1}{2}}\right)\Gamma\left(\displaystyle{\frac{n}{2}}\right)\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)}{\Gamma\left(\displaystyle{\frac{n}{2}}\right)\Gamma\left(\displaystyle{\frac{n+1}{2}}\right)}}\\
&=\displaystyle{\frac{n}{n-2}\frac{1}{\sqrt{\pi}}\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)}\\
&=\displaystyle{\frac{n}{n-2}}
\end{aligned}

  • 特性関数:特定の形式で書けない
3.2.9 非心t分布

 確率変数X確率密度関数


\begin{aligned}
f_X(x)=\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{n\pi}}e^{-\frac{\\mu^2}{2}}\sum_{r=0}^{\infty}\displaystyle{\frac{2^{\frac{r}{2}}}{r!}}\frac{\Gamma\left(\displaystyle{\frac{n+r+1}{2}}\right)}{\Gamma\left(\displaystyle{\frac{n}{2}}\right)}\left(\displaystyle{\frac{\mu x}{\sqrt{n}}}\right)^{r}\left(1+\displaystyle{\frac{x^2}{n}}\right)^{-\frac{n+r+1}{2}}}
\end{aligned}

と書けるとき確率変数Xは非心t分布t(n,\mu)に従うという。また互いに独立な確率変数U\sim N(\mu,1),V\sim\chi^2(n)の確率変数T=\displaystyle{\frac{U}{\sqrt{\left(\displaystyle{\frac{V}{n}}\right)}}}の従う分布でもある。なお\mu=0のときが前述したt分布である。

3.2.10 F分布

 確率変数X確率密度関数


\begin{aligned}
f_X(x;m,n)=\displaystyle{\frac{1}{B\left(\frac{m}{2},\frac{n}{2}\right)}\left(\displaystyle{\frac{m}{n}}\right)^{\frac{m}{2}}\frac{x^{\frac{m-2}{2}}}{\left(1+\displaystyle{\frac{m}{n}x}\right)^{\frac{m+n}{2}}}}\boldsymbol{1}_{[0,\infty)}(x)
\end{aligned}

と書けるとき確率変数Xは自由度(m,n)F分布F(m,n)に従うという。また互いに独立な\chi_1\sim\chi^2(m),\chi_2\sim\chi^2(n)に対して統計量


\begin{aligned}
F=\displaystyle{\frac{\displaystyle{\frac{\chi_1^2}{m}}}{\displaystyle{\frac{\chi_2^2}{n}}}}
\end{aligned}

もまた自由度(m,n)F分布F(m,n)に従う。

  • 平均:\displaystyle{\frac{n}{n-2}}


\begin{aligned}
E[X]&=\displaystyle{\int_{0}^{\infty}xf_X(x)}dx\\
&=\displaystyle{\frac{\left(\displaystyle{\frac{m}{n}}\right)^{\frac{m}{2}}}{B\left(\displaystyle{\frac{m}{2}},\displaystyle{\frac{n}{2}}\right)}\int_{0}^{\infty}\frac{x^{\frac{m}{2}}}{\left(1+\displaystyle{\frac{m}{n}}x\right)^{\frac{m+n}{2}}}
}dx
\end{aligned}

である。ここで\displaystyle{\frac{1}{1+\frac{m}{n}x}}=uとおくとx=\displaystyle{\frac{n}{m}\frac{1-u}{u}}が成り立ち、dx=-\displaystyle{\frac{n}{m}\left(\frac{1}{u^2}\right)}duであるから、これを代入することで


\begin{aligned}
E[X]&=\displaystyle{\frac{\left(\displaystyle{\frac{m}{n}}\right)^{\frac{m}{2}}}{B\left(\displaystyle{\frac{m}{2}},\displaystyle{\frac{n}{2}}\right)}\int_{1}^{0}\left(\displaystyle{\frac{n}{m}(u^{-1}-1)}\right)^{\frac{m}{2} }u^{\frac{m+n}{2}}\left(-\displaystyle{\frac{n}{m}u^{-2}}\right)}du\\
&=\displaystyle{\frac{\displaystyle{\frac{m}{n}}}{B\left(\displaystyle{\frac{m}{2}},\displaystyle{\frac{n}{2}}\right)}\int_{0}^{1}(u^{-1}-1)^{\frac{m}{2} }u^{\frac{m+n}{2}-2}}du\\
&=\displaystyle{\frac{\displaystyle{\frac{m}{n}}}{B\left(\displaystyle{\frac{m}{2}},\displaystyle{\frac{n}{2}}\right)}\int_{0}^{1}(1-u)^{\frac{m}{2} }u^{\frac{n}{2}-2}}du
\end{aligned}

を得る。
 ここでuに関する積分について


\begin{aligned}
\displaystyle{\int_{0}^{1}(1-u)^{\frac{m}{2} }u^{\frac{n}{2}-2}}du&=\displaystyle{\int_{0}^{1}u^{\frac{n}{2}-1-1}(1-u)^{\frac{m}{2}+1-1}}\\
&=B\left(\displaystyle{\frac{n}{2}}-1,\displaystyle{\frac{m}{2}}+1\right)
\end{aligned}

とベータ関数に帰着できる。したがって


\begin{aligned}
E[X]=\displaystyle{\frac{\displaystyle{\frac{n}{m}}}{B\left(\displaystyle{\frac{m}{2}},\displaystyle{\frac{n}{2}}\right)}}B\left(\displaystyle{\frac{n}{2}-1},\displaystyle{\frac{m}{2}}+1\right)
\end{aligned}

である。
 ベータ関数とガンマ関数の関係式より


\begin{aligned}
B\left(\displaystyle{\frac{n}{2}}-1,\displaystyle{\frac{m}{2}}+1\right)=\displaystyle{\frac{\Gamma\left(\displaystyle{\frac{n}{2}}-1\right)\Gamma\left(\displaystyle{\frac{m}{2}}+1\right)}{\Gamma\left(\displaystyle{\frac{n}{2}}+\displaystyle{\frac{m}{2}}\right)}}
\end{aligned}

が成り立つ。そしてガンマ関数の性質から


\begin{aligned}
E[X]&=\displaystyle{\frac{\displaystyle{\frac{n}{m}}}{B\left(\displaystyle{\frac{m}{2}},\displaystyle{\frac{n}{2}}\right)}}\displaystyle{\frac{\frac{1}{\frac{n}{2}-1}\Gamma\left(\displaystyle{\frac{n}{2}}-1\right)\Gamma\left(\displaystyle{\frac{m}{2}}+1\right)}{\Gamma\left(\displaystyle{\frac{n}{2}}+\displaystyle{\frac{m}{2}}\right)}}\\
&=\displaystyle{\frac{n}{n-2}}
\displaystyle{\frac{1}{B\left(\displaystyle{\frac{m}{2}},\displaystyle{\frac{n}{2}}\right)}}
\displaystyle{\frac{\Gamma\left(\displaystyle{\frac{n}{2}}-1\right)\Gamma\left(\displaystyle{\frac{m}{2}}+1\right)}{\Gamma\left(\displaystyle{\frac{n}{2}}+\displaystyle{\frac{m}{2}}\right)}}\\
&=\displaystyle{\frac{n}{n-2}}
\displaystyle{\frac{\Gamma\left(\displaystyle{\frac{n}{2}}+\displaystyle{\frac{m}{2}}\right)}{\Gamma\left(\displaystyle{\frac{n}{2}}-1\right)\Gamma\left(\displaystyle{\frac{m}{2}}+1\right)}}
\displaystyle{\frac{\Gamma\left(\displaystyle{\frac{n}{2}}-1\right)\Gamma\left(\displaystyle{\frac{m}{2}}+1\right)}{\Gamma\left(\displaystyle{\frac{n}{2}}+\displaystyle{\frac{m}{2}}\right)}}\\
&=\displaystyle{\frac{n}{n-2}}
\end{aligned}

  • 分散:

 E[X]=\displaystyle{\frac{n}{n-2}}であるから、


\begin{aligned}
V[X]=E[X^2]-\displaystyle{\frac{n^2}{(n-2)^2}}
\end{aligned}

である。


\begin{aligned}
E[X^2]&=\displaystyle{\int_{0}^{\infty}x^2\frac{\left(\displaystyle{\frac{m}{n}}\right)^{\frac{m}{2}}}{B\left(\displaystyle{\frac{m}{2}},\displaystyle{\frac{n}{2}}\right)}\frac{x^{\frac{m}{2}-1}}{\left(1+\displaystyle{\frac{m}{n}}x\right)^{\frac{m+n}{2}}}}dx\\
&=\displaystyle{\int_{0}^{\infty}\frac{\left(\displaystyle{\frac{m}{n}}\right)^{\frac{m}{2}}}{B\left(\displaystyle{\frac{m}{2}},\displaystyle{\frac{n}{2}}\right)}\frac{x^{\frac{m}{2}+1}}{\left(1+\displaystyle{\frac{m}{n}}x\right)^{\frac{m+n}{2}}}}dx
\end{aligned}

である。
 ここで平均のときと同様に\displaystyle{\frac{1}{1+\displaystyle{\frac{m}{n}}x}}=uとおけば


\begin{aligned}
x&=\displaystyle{\frac{n}{m}(x^{-1}-1)},\\
dx&=-\displaystyle{\frac{n}{m}u^{-2}}du
\end{aligned}

であるから、


\begin{aligned}
E[X^2]&=\displaystyle{\frac{\left(\displaystyle{\frac{m}{n}}\right)^{\frac{m}{2}}}{B\left(\displaystyle{\frac{m}{2}},\displaystyle{\frac{n}{2}}\right)}\int_1^0 \left(\displaystyle{\frac{n}{m}}(u^{-1}-1)\right)^{\frac{m}{2}+1}u^{\frac{m+n}{2}}\left(\displaystyle{\frac{n}{m}} u^{-2}\right)}du\\
&=\displaystyle{\frac{\displaystyle{\frac{n^2}{m^2}}}{B\left(\displaystyle{\frac{m}{2}},\displaystyle{\frac{n}{2}}\right)}\int_0^1(u^{-1}-1)^{\frac{m}{2}+1}u^{\frac{m+n}{2}-2}}du\\
&=\displaystyle{\frac{\displaystyle{\frac{n^2}{m^2}}}{B\left(\displaystyle{\frac{m}{2}},\displaystyle{\frac{n}{2}}\right)}\int_0^1 (1-u)^{\frac{m}{2}+1}u^{\frac{n}{2}-3}}du
\end{aligned}

が成り立つ。
 ここで


\begin{aligned}
\displaystyle{\int_0^1 (1-u)^{\frac{m}{2}+1}u^{\frac{m}{2}-3}}du&=\displaystyle{\int_0^1 u^{\frac{n}{2}-2-1}(1-u)^{\frac{m}{2}+2-1} }du\\
&=B\left(\displaystyle{\frac{n}{2}}-2,\displaystyle{\frac{m}{2}}+2\right)
\end{aligned}

が成立するから、


\begin{aligned}
E[X^2]=\displaystyle{\frac{\displaystyle{\frac{n^2}{m^2}}}{B\left(\displaystyle{\frac{m}{2}},\displaystyle{\frac{n}{2}}\right)}B\left(\displaystyle{\frac{n}{2}}-2,\displaystyle{\frac{m}{2}}+2\right)}
\end{aligned}

である。ここでベータ関数とガンマ関数の関係から


\begin{aligned}
E[X^2]=\displaystyle{\frac{\displaystyle{\frac{n^2}{m^2}}}{B\left(\displaystyle{\frac{m}{2}},\displaystyle{\frac{n}{2}}\right)}
\frac{\Gamma\left(\displaystyle{\frac{n}{2}}-2\right)\Gamma\left(\displaystyle{\frac{m}{2}}+1\right)}{\Gamma\left(\displaystyle{\frac{n}{2}}+\displaystyle{\frac{m}{2}}\right)}}
\end{aligned}

が成り立つ。更にガンマ関数の性質から


\begin{aligned}
E[X^2]&=\displaystyle{\frac{\displaystyle{\frac{n^2}{m^2}}}{B\left(\displaystyle{\frac{m}{2}},\displaystyle{\frac{n}{2}}\right)}}\\
&=\displaystyle{\frac{n^2(m+2)}{m(n-2)(n-4)}\frac{1}{B\left(\displaystyle{\frac{m}{2}},\displaystyle{\frac{n}{2}}\right)}\frac{\Gamma\left(\displaystyle{\frac{n}{2}}\right)\Gamma\left(\displaystyle{\frac{m}{2}}\right)}{\Gamma\left(\displaystyle{\frac{n}{2}}+\displaystyle{\frac{m}{2}}\right)}}\\
&=\displaystyle{\frac{n^2(m+2)}{m(n-2)(n-4)}
\frac{\Gamma\left(\displaystyle{\frac{n}{2}}+\displaystyle{\frac{m}{2}}\right)}{\Gamma\left(\displaystyle{\frac{n}{2}}\right)\Gamma\left(\displaystyle{\frac{m}{2}}\right)}
\frac{\Gamma\left(\displaystyle{\frac{n}{2}}\right)\Gamma\left(\displaystyle{\frac{m}{2}}\right)}{\Gamma\left(\displaystyle{\frac{n}{2}}+\displaystyle{\frac{m}{2}}\right)}}\\
&=\displaystyle{\frac{n^2(m+2)}{m(n-2)(n-4)}}
\end{aligned}
 以上を代入して

\begin{aligned}
V[X]&=E[X^2]-\displaystyle{\frac{n^2}{(n-2)^2}}\\
&=\displaystyle{\frac{n^2(m+2)}{m(n-2)(n-4)}}-\displaystyle{\frac{n^2}{(n-2)^2}}\\
&=\displaystyle{\frac{2n-2(m+n-2)}{m(n-2)^2(n-4)}}
\end{aligned}

である。

3.2.11 非心F分布

 確率変数X確率密度関数


\begin{aligned}
f_X(x)=\displaystyle{e^{-\frac{\nu}{2}}\sum_{r=0}^{\infty}\frac{1}{r!}\left(\displaystyle{\frac{\nu}{2}}\right)^r\displaystyle{\frac{\Gamma\left(\displaystyle{\frac{f_1+f_2}{2}}+r\right)}{\Gamma\left(\displaystyle{\frac{f_2}{2}}+r\right)\Gamma\left(\displaystyle{\frac{f_2}{2}}\right)}}\left(\displaystyle{\frac{f_1}{f_2}}\right)^{\frac{f_2}{2}+r}\displaystyle{\frac{x^{\frac{f_2}{2}-1+r}}{\left(1+\displaystyle{\frac{f_1}{f_2}x}\right)^{\frac{f_1+f_2}{2}+r}}}}
\end{aligned}

と書けるとき確率変数Xは自由度(m,n)F分布F(m,n)に従うという。また\chi_1が自由度f_1、非心度\lambdaの非心カイ二乗分布に、\chi_2が自由度f_2カイ二乗分布に従うとき統計量


\begin{aligned}
F^{*}=\displaystyle{\frac{\displaystyle{\frac{\chi_1}{f_1}}}{\displaystyle{\frac{\chi_2}{f_2}}}}
\end{aligned}

もまた非心F分布F(f_1,f_2,\lambda)に従う。\lambda=0のときに通常のF分布と等しい。

参考文献

  • Lehmann, E.L., Casella, George(1998), "Theory of Point Estimation, Second Edition", (Springer)
  • Lehmann, E.L., Romano, Joseph P.(2005), "Testing Statistical Hypotheses, Third Edition", (Springer)
  • Sturges, Herbert A.,(1926), "The Choice of a Class Interval", (Journal of the American Statistical Association, Vol. 21, No. 153 (Mar., 1926)), pp. 65-66
  • 上田拓治(2009)「44の例題で学ぶ統計的検定と推定の解き方」(オーム社)
  • 大田春外(2000)「はじめよう位相空間」(日本評論社)
  • 小西貞則(2010)「多変量解析入門――線形から非線形へ――」(岩波書店)
  • 小西貞則,北川源四郎(2004)「シリーズ予測と発見の科学2 情報量基準」(朝倉書店)
  • 小西貞則,越智義道,大森裕浩(2008)「シリーズ予測と発見の科学5 計算統計学の方法」(朝倉書店)
  • 佐和隆光(1979)「統計ライブラリー 回帰分析」(朝倉書店)
  • 清水泰隆(2019)「統計学への確率論,その先へ ―ゼロからの速度論的理解と漸近理論への架け橋」(内田老鶴圃)
  • 鈴木 武, 山田 作太郎(1996)「数理統計学 基礎から学ぶデータ解析」(内田老鶴圃)
  • 竹内啓・編代表(1989)「統計学辞典」(東洋経済新報社)
  • 竹村彰通(1991)「現代数理統計学」(創文社)
  • 竹村彰通(2020)「新装改訂版 現代数理統計学」(学術図書出版社)
  • 東京大学教養学部統計学教室編(1991)「基礎統計学Ⅰ 基礎統計学」(東京大学出版会)
  • 東京大学教養学部統計学教室編(1994)「基礎統計学Ⅱ 人文・社会科学の統計学」(東京大学出版会)
  • 東京大学教養学部統計学教室編(1992)「基礎統計学Ⅲ 自然科学の統計学」(東京大学出版会)
  • 豊田秀樹(2020)「瀕死の統計学を救え! ―有意性検定から「仮説が正しい確率」へ―」(朝倉書店)
  • 永田靖(2003)「サンプルサイズの決め方」(朝倉書店)
  • 柳川堯(2018)「P値 その正しい理解と適用」(近代科学社)

*1:これは別項において扱う。

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