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以下の書籍

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を参考に、改めて微分積分を復習していく。

前回

今日のまとめ

閉区間 $[a,b]$ で連続な関数 $f$ は有界である。

閉区間 $[a,b]$ で連続な実関数 $f$ には最大値と最小値が必ず存在する。

中間値の定理： $f$ を閉区間 $[a,b]$ 上の連続な関数とする。 $f(a)\neq f(b)$ のとき $f(a)$ と $f(b)$ の間の任意の値 $\mu$ に対して $f(c)=\mu$ となるような $c\in[a,b]$ が存在する。

前回
今日のまとめ
4.　数列
- 4.7　連続関数の性質
- 4.8　中間値の定理
次回

4.　数列

　前節で実数の連続性を導入した。これを用いることで数列の収束・極限を厳密に定義することが出来る。

4.7　連続関数の性質

連続関数の有界性　閉区間 $[a,b]$ で連続な関数 $f$ は有界である。すなわちすべての $x\in[a,b]$ において $\left|f(x)\right|\leq M$ を満たすような定数 $M\in\mathbb{R}$ が存在する。

（ $\because$ 　 $f$ が有界でないと仮定する。このとき各自然数 $n\in\mathbb{N}$ ごとに

$\begin{aligned} \left|f(x_n)\right|\geq n \end{aligned}$

を満たすような点 $x_n\in[a,b]$ が存在する。
　点列 $\{x_n\}$ はそのすべてが $[a,b]$ に属するから有界である。そこでBolzano-Weierstraussの定理*1より、収束するようなその部分列を選べるから、 $x_{n_k}\rightarrow x_0 (n_k\rightarrow\infty)$ としてよく、

$\begin{aligned} \left|f(x_{n_k})\right|\geq n_k \end{aligned}$

において $n_k\rightarrow\infty$ とすれば、 $f$ が連続であることから $f(x_k)\rightarrow f(x_0)$ となる。しかしこれは $f$ が有界でないという仮定に矛盾する。　 $\blacksquare$ ）

4.8　中間値の定理

　まずは実関数の最大値と最小値の存在について議論する。

最大値・最小値の存在　閉区間 $[a,b]$ で連続な実関数 $f$ には最大値と最小値が必ず存在する。

（ $\because$ 　前述の定理より集合 $A=\{f(x)|a\leq x\leq b\}$ は有界であるから、実数の連続性公理から上限と下限が存在する。これらを

$\begin{aligned} m^{*}=\sup A=\displaystyle{\sup_{a\leq x\leq b}f(x)},\ m_{*}=\inf A=\displaystyle{\inf_{a\leq x\leq b}f(x)} \end{aligned}$

とおく。
　それぞれの $n\in\mathbb{N}$ に対して $m^{*}-\displaystyle{\frac{1}{n}}$ は $A$ の上界ではないから、 $m^{*}-\displaystyle{\frac{1}{n}}\leq f(x_n)\leq m^{*}$ を満たすような $x_n\in[a,b]$ が存在する。このとき $\{x_n\}$ は有界列であるから、Bolzano-Weierstraussの定理より、その収束部分列 $\{x_{n_k}\}$ を構築することができる。 $x_{n_k}\rightarrow x^{*}(n_k\rightarrow\infty)$ とするとき、

$\begin{aligned} a\leq x_{n_k}\leq b,\ \ m^{*}-\displaystyle{\frac{1}{n_k}}\leq f(x_{n_k})\leq m^{*} \end{aligned}$

において $n_k\rightarrow\infty$ とすれば、 $a\leq x^{*}\leq b$ かつ $f$ の連続性から、 $f(x^{*})=m^{*}$ となり、 $m^{*}=\displaystyle{\max_{a\leq x\leq b}f(x)}$ である。同様に考えることで、 $m_{*}=\displaystyle{\min_{a\leq x\leq b}}f(x)$ が成り立つ。　 $\blacksquare$ ）

中間値の定理 $f$ を閉区間 $[a,b]$ 上の連続な関数とする。 $f(a)\neq f(b)$ のとき $f(a)$ と $f(b)$ の間の任意の値 $\mu$ に対して $f(c)=\mu$ となるような $c\in[a,b]$ が存在する。

（ $\because$ 　 $f(a)\lt f(b)$ と仮定しても一般性を失わない。 $f(a)\lt \mu\lt f(b)$ に対して、集合 $A=\{x\in[a,b]|f(x)\lt\mu\}$ を定義する。このとき $A$ は有界であるから $\sup A=c\in[a,b]$ が定まる。
　上限の定義から、 $a\leq x_n\leq c$ および $x_n\rightarrow c (n\rightarrow\infty)$ を満たすように $A$ の点からなる数列 $\{x_n\}$ を選ぶことが出来る。このとき $f(x_n)\lt\mu$ であるから、 $f$ の連続性から $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}f(x_n)}=f(c)\leq\mu$ である。
　一方で数列 $\{y_n\}$ を $y_n\gt c$ および $y_n\rightarrow c$ を満たすように取ると、 $y_n$ は $A$ に含まれないから、 $f(y_n)\geq\mu$ が成り立つ。ここで $n\rightarrow\infty$ とすれば、 $f$ の連続性より $f(c)\geq\mu$ が成り立つ。これらから $f(c)=\mu$ が成り立つ。　 $\blacksquare$ ）