データサイエンスとデータベース（02/X） - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　データベースの理論的な部分を

データサイエンスのためのデータベース (データサイエンス入門シリーズ)

作者:吉岡真治,村井哲也
講談社

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を基に学んでいく。

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今日のまとめ
2.　関係データベースの基本
- 2.2　リレーションのテーブルによる表示
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今日のまとめ

「テーブルの各セルに1つのデータが入力された」テーブルを第1正規形と呼ぶ。

関係スキーマ $R=R(A_1,\cdots,A_n)$ が与えられたとする。その任意のインスタンス $r$ について、属性列 $A_R$ の部分列 $S$ が性質
$\begin{aligned}{}^{\forall}t,{}^{\forall}t^{\prime}\in r\left(t\left[\right]=t^{\prime}\left[\right]\Rightarrow t=t^{\prime}\right)\end{aligned}$
を満たすとき、 $S$ をこの関係スキーマ $R$ における超キーであるという。
　また関係スキーマ $R$ の超キー $S$ は $R$ のインスタンスとなる任意のテーブル $T$ の超キーともいう。

関係スキーマ $R\left(A_1,\cdots,A_n\right)$ が与えられたとき、属性列 $A_R$ の部分列 $K$ が性質
　(1) $K$ は超キーである
　(2) $K$ のどの真部分列も超キーとならない
を満たすとき、 $K$ を候補キーという。関係スキーマの属性のうち、候補キーに属するものをキー属性、属さないものを非キー属性という。

データベース管理上の理由で都合の良いように選ばれた1つの候補キーを主キーという。

2.　関係データベースの基本

　関係データベースの基本として、まずはデータの関係モデルを考える。
　 $\mathrm{E.F.Codd}$ が提案したデータの関係モデル( $\mathrm{relational}$ $\mathrm{model}$ $\mathrm{of}$ $\mathrm{data}$ )は数学の集合論における「関係」*1の理論をデータベースに応用したものである。
　この議論をするために、まずは直積集合を導入する。

2.2　リレーションのテーブルによる表示

　データのリレーションはテーブルの形でユーザに表示させる。テーブルの横の並びを行といい、縦の並びは列という。各データが入力される枠をセルないしフィールドと呼ぶ。

2.2.3　インスタンス

　1つの関係スキーマに対して、それと組み合わせてテーブルとなることができるリレーションは複数ある。データは常に更新され得ることため、リレーションは流動的なものである。
　一般に関係スキーマ $R(A_1,\cdots,A_n)$ に対して直積集合 $\mathrm{dom}(A_{1})\times\cdots\times\mathrm{dom}(A_{n})$ の有限部分集合はすべてデータのリレーションとして可能な候補であり、関係スキーマのインスタンスという。関係スキーマはその1つのインスタンスと組み合わせて1つのテーブルを構成する。ただし直積集合の部分集合であっても現実の制約からリレーションとして採用できない部分集合があり得る。

2.2.4　タプルからの成分の切り出し

　属性を $A_1,\cdots,A_n$ とし、 $n$ 項リレーション $r$ のタプルを $t=(x_1,\cdots,x_r)\in r$ とする。このとき各属性 $A_k,1\leq k\leq n$ に対して

$\begin{aligned} t\left[A_k\right]=x_k \end{aligned}$

でタプル $t$ の $A_k$ -成分と呼ぶ。すなわち $t\left[A_k\right]=x_k$ はタプル $t$ からその $k$ 番目の属性 $A_k$ に関するデータを切り出した結果である。
　この定義は属性の列に拡張できる。関係スキーマの属性 $A_1,\cdots,A_n$ から $m$ 個( $1\leq m\leq n$ )の属性 $A_{k_{1}},\cdots,A_{k_{m}}$ ( $1\leq$ $k_1\lt$ $\cdots$ $\lt$ $k_m$ $\leq$ $n$ )をこの順番で選んで並べた列 $(A_{k_{1}},\cdots,A_{k_{m}})$ を $A_R$ の部分列という。タプル $t=(x_1,\cdots,x_n)\in r$ と $A_R$ の部分列 $X=$ $(A_{k_{1}},$ $\cdots,$ $A_{k_{m}})$ に対して

$\begin{aligned} t\left[X\right]=t\left[A_{k_{1}},\cdots,A_{k_{m}}\right]=(t\left[A_{k_{1}}\right],\cdots,t\left[A_{k_{m}}\right])=(x_{k_{1}},\cdots,x_{k_{m}}) \end{aligned}$

と定義し、タプル $t$ の $X$ -成分と呼ぶ。全ての属性についてデータを切り出すと、 $t\left[A_R\right]=t$ である。

　以下のようにテーブルおよびタプルを定義するとき、

学生名研究室名学科名

太郎知識情報学知識科学 $=t_1$

次郎データ解析学データ科学 $=t_2$

三郎データ解析学データ科学 $=t_3$

まず
$\begin{aligned} t_1[学生名]=太郎 \end{aligned}$
である。また属性の列 $X=(学生名,研究室名)$ に対して、
$\begin{aligned} t_1[X]&=t_1[学生名,研究室名]=\left(t_1[学生名],t_1[研究室名]\right)\\ &=(太郎,知識情報学) \end{aligned}$
である。また全属性 $A_R=(学生名,研究室名,学科名)$ に対して、
$\begin{aligned} t_1[X_R]&=t_1[学生名,研究室名,学科名]\\ &=\left(t_1[学生名],t_1[研究室名],t_1[学科名]\right)\\ &=(太郎,知識情報学,知識科学)=t_1 \end{aligned}$
である。

学生名	研究室名	学科名
太郎	知識情報学	知識科学	$=t_1$
次郎	データ解析学	データ科学	$=t_2$
三郎	データ解析学	データ科学	$=t_3$

2.2.5　第1正規形

　これまで用いてきたテーブルは第1正規形と呼ばれる。第1正規形と呼ばれる条件は「テーブルの各セルに1つのデータが入力されること」である。
　1セル1データの条件はデータ処理を単純にするために $\mathrm{Codd}$ がテーブルに課した最低の条件である。第1正規形の条件を満たさないテーブルを非正規形という。
　関係データベースは一般に複数のテーブルから構成され、それぞれ少なくとも第1正規形でなければならない。

　非正規形のテーブルを第1正規形にする手続きを第1正規化という。タプルの1つのセルに $n$ 個のデータが入力されていれば、そのタプルは $n$ 個のタプルにする。更にデータが重複するセルがあるならば、なくなるまで同じ作業を繰り返す。

2.2.6　超キーと候補キー、主キー

　データ処理ではテーブルの各行を一意に特定してアクセスする必要がある。テーブルを表示したときのタプル位置は任意であるから、データベースシステムが便宜上、行番号を表示したとしても、それはタプル固有の番号ではなく、データ処理には使えない。そこで各タプルを一意に特定するための仕掛けが必要である。簡単なのは各タプルに属性の1つとして固有の番号を持たせればよい。

　タプルを一意に特定できる属性を超キーと呼ぶ。

　数学的に一意性を定義する。属性 $A$ がタプルを1つ特定するならば、任意のタプル $t,t^{\prime}$ に対して、

$\begin{aligned} t\neq t^{\prime}\Rightarrow t[A]\neq t^{\prime}[A] \end{aligned}$

が成り立つ。これの対偶を取ることで、

$\begin{aligned} t[A]=t^{\prime}[A]\Rightarrow t=t^{\prime} \end{aligned}$

を得る。これは、属性 $A$ -成分が同一となるタプルが1つしか存在しないことを意味する。

超キー　関係スキーマ $R=R(A_1,\cdots,A_n)$ が与えられたとする。その任意のインスタンス $r$ について、属性列 $A_R$ の部分列 $S$ が性質

$\begin{aligned} {}^{\forall}t,{}^{\forall}t^{\prime}\in r\left(t\left[\right]=t^{\prime}\left[\right]\Rightarrow t=t^{\prime}\right) \end{aligned}$

を満たすとき、 $S$ をこの関係スキーマ $R$ における超キーであるという。
　また関係スキーマ $R$ の超キー $S$ は $R$ のインスタンスとなる任意のテーブル $T$ の超キーともいう。

　いずれの関係スキーマ $R(A_1,\cdots,A_n)$ にも $A_R$ 自信という超キーを必ず持つ。逆に $R$ の超キー $S$ に対して、 $S$ を部分列とする属性列 $S^{\prime}$ も $R$ の超キーである。
　しかし $A_R$ 自体は超キーとしてたいてい、冗長である。そこで新たに候補キーという概念を定義する。

候補キー　関係スキーマ $R\left(A_1,\cdots,A_n\right)$ が与えられたとき、属性列 $A_R$ の部分列 $K$ が性質

$K$ は超キーである
$K$ のどの真部分列も超キーとならない

を満たすとき、 $K$ を候補キーという。関係スキーマの属性のうち、候補キーに属するものをキー属性、属さないものを非キー属性という。

1つの関係スキーマに候補キーが複数存在する場合、データベース管理上の理由で都合の良いキーを1つ選ぶ。それを主キーという。関係スキーマやテーブルでは主キーに下線を引く約束である。

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*1:データベースの分野では「リレーション」と呼称するのが一般的である。

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今日のまとめ

2. 関係データベースの基本

2.2 リレーションのテーブルによる表示

2.2.3 インスタンス

2.2.4 タプルからの成分の切り出し

2.2.5 第1正規形

2.2.6 超キーと候補キー、主キー

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