長期投資の理論と実践（01/X） - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　投資理論を以下の書籍

作者:安達智彦,池田昌幸
東京大学出版会

をベースに学ぶこととする。

0.　はじめに
- 0.1　運用スタイル
1.　1期間モデルにおける最適投資の考え方
- 1.1　投資理論と効用関数
- 1.2　1期間モデルにおける不確実性
  - 1.2.1　金融資産リターンと効用関数
2.　効用関数による投資家の選好表現
- 2.1.　期待効用とリスク・プレミアム
- 2.2　リスク回避度
  - 2.2.1　リスク回避度によるリスク・プレミアムの近似
今回のまとめ
次回

0.　はじめに

　本書は長期の証券投資、「10年以上の計画運用期間を設定した場合に合理的な証券運用をどのように組み立て実行するか」を扱う。資産運用の計画運用期間やその長さを投資ホライズンと呼ぶこととする。
　長期の投資を考える場合、ライフステージが存在するため、外生的に表れる投資機会の変化を考慮しつつ、種々の修正を行う必要がある。
　経済学では投資家とは消費によって効用を得る経済主体としての消費者が効用の最大化を目的として貯蓄を資産市場で運用するときの仮の姿を考える。多期間においては、各期間における消費の残額である貯蓄を資産運用し、それによって獲得した投資収益と他の富や所得とを組み合わせた総額の一部を消費して効用を得るという行動を毎期繰り返す。そのため、多期間における最適な投資決定を分析するには、最適な消費決定も同時に考察する必要があり、さらに長期・多期間における毎期の消費から得られる効用が多期間全体を通じての生涯効用とどのような関係を有するかを明らかにする必要がある。
　CAPMを含めた標準的な1期間の投資理論は、期末の消費から得られる期待効用を最大化すべく投資家が動くことを前提としている。そこで前提視されているのが、期末の状態に応じて消費水準が相違することを嫌う性質を前提にしている。これに対して多期間であれば、期待効用最大化はそのままに、状態間での消費変動に加え、時点間での消費変動によっても影響を受けることを加味しなければならない。
　1期間の期待効用関数を拡張する方法では、この2種類の消費変動リスクを加味できないことが研究により明らかになった。そのため、「再帰的効用関数」という新たな概念を導入することとなった。その結果、異なる時点間のリスクの下での最適消費決定は、投資家のリスク許容度に依存するものの、最適ポートフォリオの内容は主に異なる状態間のリスク回避度で定まることが判明した。

0.1　運用スタイル

　運用スタイルとは、「運用者が投資に関する自らの基本哲学に基づき、計画された投資ホライズンにおいて運用による付加価値付与を達成すべく、如何なるリスク・リターンのトレードオフを選択し、どの資本市場でどのような投資戦略を用いて実現するかという資産運用の形態」を指す。ここで投資戦略はポートフォリオ構築方法に加え、投資タイミングの決定も含む。

運用スタイルの分類

　シャープ・レシオ( $\mathrm{Sharpe\ ratio}$ )により投資パフォーマンスを評価する場合、リスク-リターン平面において資本市場線を考えるとその上に存在するポートフォリオがシャープ・レシオ最大のものであり、それよりも上側の領域にあるようなポートフォリオは達成不可能であるとされる。しかし実際には真の市場ポートフォリオ構築、観測のいずれも不可能であるため、株価指数をその代理と考え利用されている。ある資産のどう平面上での位置をリスク・リターン・ポジションと呼ぶが、 $M$ の位置は観測不可能であるのに対して、 $I,F$ はリターンから推定することが可能である。
　ポートフォリオ $I$ のリスク・リターン・ポジションはインデックスファンドへの投資で実現可能であり、 $F$ は国債へ投資すればよい。このようにインデックスファンドおよび無リスク資産の組み合わせで実現可能なリスク・リターン・ポジションを達成しようと試みる運用スタイルをパッシブ運用という。
　他方で、運用会社が入手した企業情報を駆使したり予測を行ってインデックスファンドよりも大きなシャープ・レシオを狙い得る。そのような方針で臨む運用スタイルがアクティブ運用である。

1.　1期間モデルにおける最適投資の考え方

　後段でなされる長期期間における最適投資に先だち、1期間における最適投資を考える。

1.1　投資理論と効用関数

　（個人）投資家にとって「投資の目的は効用の最大化である」と考える。これは投資ホライズンの長さにかかわらずそうであると成立すると仮定する。
　数か月から数年の投資期間であれば、「投資家のリスクに対する選好や資産運用の対象である金融資産市場の性質は変わらないと考え、将来消費がもたらす効用の期待値（期待効用）が最大になるように運用開始時点において最適な投資の在り方を考える」のが、本書の「投資の1期間モデル」の定義とする。
　これに対して投資家の生涯を考慮して投資家の効用最大を考えると、投資ホライズンは30年以上にまで延びる。その間効用関数が同一だとは限らない。また金融資産市場の性質のみならず金融資産の種類も変わる。さらにインフレーションの影響を無視し得ない。

1.2　1期間モデルにおける不確実性

　1期間とは「投資機会集合の性質が一定である」と考えられる期間を指すものである。ここでは短期の無リスク利子率が一定ならびに価格変動リスク、デフォルト・リスクおよびそれらに対するリスクプレミアムが変化せず、インフレーションの影響が無視できるような期間である。とはいえ具体的な期間を指すわけではなく、実務的には投資の実践やパフォーマンス報告に適当という別観点から1年間を1期間と見なすことが多い。
　1期間モデルでは、時点 $0$ および時点 $1$ に区切られる1期間のみを考察し、合理的な投資家は時点 $0$ においてすべての利用可能な情報に基づいて期待を形成する。
　この間、生じ得る状態は有限で投資家にとって各々の状態が生起する確率が既知であると仮定する。

1.2.1　金融資産リターンと効用関数

　金融資産の将来収益は、無リスク資産を除き、基本的に不確実である。この不確実性を表現するのに確率を用いる。すなわち

状態ごとに投資対象とする証券のペイオフ（収益の実現値）、および
その状態が生起する確率

を特定する。
　投資収益がもたらす消費に対する投資家の選好を表現するのに効用関数を用いる。とくに不確実性を伴うペイオフに対する選好を期待効用関数により表現する。この効用関数を用いると、不確実下における最適な投資決定は投資家の期待効用を最大化するような投資の意思決定と言い換えることができる。
　

2.　効用関数による投資家の選好表現

　初期富（initial wealth）は、期初に所与として各投資家に与えられる財や金融資産の価値である。
　時点 $0$ において初期富 $W_0$ の全額が利用可能だとする。投資の成果は時点 $1$ に成立すると考えていたから、期末富 $\tilde{W}$ は投資収益を $\tilde{Z}$ とすれば

$\begin{aligned} \tilde{W}=W_0+\tilde{Z} \end{aligned}$

である*1。ここで投資収益 $\tilde{Z}$ の期待値 $E[\tilde{Z}]=\mu_{Z}$ と表すと、 $\tilde{Z}=\mu+\tilde{\varepsilon},\ E[\tilde{\varepsilon}]=0$ と書き直すことができ、これにより

$\begin{aligned} \tilde{W}=W_0+\tilde{Z}&=W_0+\mu_{Z}+\tilde{\varepsilon},\\ E[\tilde{\varepsilon}]&=0 \end{aligned}$

と書き直すことができる。

2.1.　期待効用とリスク・プレミアム

　ある投資家の効用関数を $u(x)$ とおく。いま $x=\tilde{W}$ を代入し、時点 $0$ における期待効用を求めると

$\begin{aligned} E[u(\tilde{W})]=E[u(W_0+\mu_{Z}+\tilde{\varepsilon})] \end{aligned}$

である。
　期待効用の意味を明確にすべく、収益の不確実性を定式化するための確実性等価(Certainty Equivalent)を定義する。
　初期富 $W_0$ と不確実な収益 $\tilde{Z}$ がもたらす期待効用水準と同じ効用をもたらすような確実な収益の水準、すなわち

$\begin{aligned} u(W_0+Z^{\mathrm{EC}})=E[u(W_0+\mu_{Z}+\tilde{\varepsilon})] \end{aligned}$

を満たすような収益水準 $Z^{\mathrm{EC}}$ を確実性等価という。
　次に

$\begin{aligned} \Pi:=E[\tilde{Z}]-Z^{\mathrm{CE}}=\mu_Z-Z^{\mathrm{CE}} \end{aligned}$

によりリスク・プレミアムを定義する。このとき $Z^{\mathrm{CE}}=\mu_Z-\Pi$ であるから、 $E[u(\tilde{W})]=E[u(W_0+\mu_{Z}+\tilde{\varepsilon})]$ に代入することで

$\begin{aligned} E[u(\tilde{W})]&=E[u(W_0+\mu_{Z}+\tilde{\varepsilon})]\\ &=E[u(W_0+\mu_{Z}+\tilde{\varepsilon})]\\ &=u(W_0+Z^{\mathrm{CE}})\\ &=u(W_0+\mu_Z-\Pi)\\ \therefore\ E[u(W_0+\mu_{Z}+\tilde{\varepsilon})]&=u(W_0+\mu_Z-\Pi) \end{aligned}$

を得る。このときリスク回避的な投資家であればリスク・プレミアムは正（ $\Pi\gt0$ ）である。
　リスク回避的な投資家、すなわち同一の期待リターンを得られるならばより低いリスクを持つ資産を選好する投資家の効用関数（リスク回避的な効用関数）はたとえば以下のようになる。

　リスク回避的な効用関数 $u(x)$ は狭義凹関数であるから、 $\mathrm{Jensen}$ の不等式から、その具体的な形状にかかわらず確率変数 $\tilde{X}$ に対して

$\begin{aligned} E[u(\tilde{X})]=u(E[\tilde{X}]) \end{aligned}$

を満たす。そのため

$\begin{aligned} E\left[u(W_0+\tilde{Z})\right]\lt u(E\left[W_0+\tilde{Z}\right])=u(W_0+\mu_Z) \end{aligned}$

が成立する。この左辺は不確実な消費 $\tilde{W}=W_0+\tilde{Z}$ に対する期待効用である。他方で右辺における $E[W_0+\tilde{Z}]=W_0+\mu_Z$ はその消費の期待値で確定値である。したがって単調増加な狭義凹関数を効用関数にもつ投資家、すなわち「リスク回避的な投資家にとって不確実な投資よりもその平均水準に等しい確実な消費の方が効用が高くなる」ことが分かる。

　不確実な消費と確実な消費の効用の差は効用関数の凹度が大きいほど拡大する。
　同一の不確実な収益に対して同一の効用関数を持つ場合であっても、初期富の水準に応じて投資収益に対する確実性等価およびリスク・プレミアムの水準は変化する。したがって初期富の増加に対するリスク・プレミアムの変化率は効用関数の形状に依存する。したがって効用関数の凹度は

投資家のリスク回避水準を表現する、
不確実な収益に対する各投資家の主観的なリスク・プレミアムを決定する

という役割を担う。
　市場では多種多様な効用関数と異なる初期富を持つ投資家が存在し、そうした投資家が形成する主観的なリスク・プレミアムに応じて投資家毎に各リスク資産への需要が形成される。そこでその総需要と総供給に基づいてリスク・プレミアムを求めることも不可能ではない。

2.2　リスク回避度

　効用関数の凹度はリスク回避度で測られる。効用関数 $u(x)$ に対して絶対的リスク回避度 $\mathrm{ARA}$ は

$\begin{aligned} \mathrm{ARA}(x)=-\displaystyle{\frac{u^{\prime\prime}(x)}{u^{\prime}(x)}} \end{aligned}$

で、また相対的リスク回避度 $\mathrm{RRA}$ は

$\begin{aligned} \mathrm{RRA}(x)=-\displaystyle{\frac{u^{\prime\prime}(x)}{u^{\prime}(x)}}x=x\mathrm{ARA}(x) \end{aligned}$

で定義する。期待効用関数は正1次変換の範囲で一意、すなわち $a,b\in\mathbb{R},b\gt0$ に対して効用関数 $u(x)$ は

$\begin{aligned} \hat{u}(x)=a+b u(x) \end{aligned}$

は同一の選好を有する。リスク回避度においても

$\begin{aligned} \mathrm{ARA}(x)&=-\displaystyle{\frac{\hat{u}^{\prime\prime}(x)}{\hat{u}^{\prime}(x)}}=-\displaystyle{\frac{u^{\prime\prime}(x)}{u^{\prime}(x)}},\\ \mathrm{RRA}(x)&=-\displaystyle{\frac{\hat{u}^{\prime\prime}(x)}{\hat{u}^{\prime}(x)}}x=-\displaystyle{\frac{u^{\prime\prime}(x)}{u^{\prime}(x)}}x=x\mathrm{ARA}(x) \end{aligned}$

が成り立ち、正一次変換前のリスク回避度と確かに一致する。

2.2.1　リスク回避度によるリスク・プレミアムの近似

　リスク回避度を用いると、リスク・プレミアムを近似することができる。前の節で導いた

$\begin{aligned} E[u(W_0+\mu_{Z}+\tilde{\varepsilon})]=u(W_0+\mu_Z-\Pi) \end{aligned}$

を考える。
　効用関数 $u(x)$ を $x=W_0+\mu_Z$ の周りで1次の項までで $\mathrm{Taylor}$ 展開すると

$\begin{aligned} u(x)=u(W_0+\mu_Z)+\{x-(W_0+\mu_Z)\}u^{\prime}(W_0+\mu_Z)+o(x) \end{aligned}$

であり、ここに $x=W_0+\mu_Z-\Pi$ を代入し2次以降の項を無視することで

$\begin{aligned} u(W_0+\mu_Z-\Pi)\approx u(W_0+\mu_Z)-\Pi u^{\prime}(W_0+\mu_Z) \end{aligned}$

を得る。左辺は $x=W_0+\mu_Z$ の周りで2次項までで $\mathrm{Taylor}$ 展開することで

$\begin{aligned} u(x)=&u(W_0+\mu_Z)+\{x-(W_0+\mu_Z)\}u^{\prime}(W_0+\mu_Z)\\&+\displaystyle{\frac{1}{2}}\{x-(W_0+\mu_Z)\}^{2}u^{\prime\prime}(W_0+\mu_Z)+o(x^2) \end{aligned}$

を得、これに $x=W_0+\mu_Z+\tilde{\varepsilon}$ を代入し3次項以降を無視して

$\begin{aligned} u(W_0+\mu_Z+\tilde{\varepsilon})\approx u(W_0+\mu_Z)+\tilde{\varepsilon}u^{\prime}(W_0+\mu_Z)+\displaystyle{\frac{1}{2}}{\tilde{\varepsilon}}^{2}u^{\prime\prime}(W_0+\mu_Z) \end{aligned}$

が成り立つ。この両辺の期待値を取ることで、 $E[\tilde{\varepsilon}]=0,$ $E[{\tilde{\varepsilon}}^2]=E[\left(\tilde{Z}-\mu_Z\right)^2]=V[\tilde{Z}]$ に注意すれば

$\begin{aligned} E\left[u(W_0+\mu_Z+\tilde{\varepsilon})\right]&\approx E\left[u(W_0+\mu_Z)+\tilde{\varepsilon}u^{\prime}(W_0+\mu_Z)+\displaystyle{\frac{1}{2}}{\tilde{\varepsilon}}^{2}u^{\prime\prime}(W_0+\mu_Z)\right]\\ &=E\left[u(W_0+\mu_Z)\right]+u^{\prime}(W_0+\mu_Z) E\left[\tilde{\varepsilon}\right]+\displaystyle{\frac{1}{2}}u^{\prime\prime}(W_0+\mu_Z) E\left[{\tilde{\varepsilon}}^{2}\right]\\ &=u(W_0+\mu_Z)+\displaystyle{\frac{u^{\prime\prime}(W_0+\mu_Z)}{2}}V\left[\tilde{Z}\right]\\ \end{aligned}$

を得る。以上の両辺の近似式を代入することで

$\begin{aligned} &E[u(W_0+\mu_{Z}+\tilde{\varepsilon})]=u(W_0+\mu_Z-\Pi)\\ \Leftrightarrow\ \ &u(W_0+\mu_Z)+\displaystyle{\frac{u^{\prime\prime}(W_0+\mu_Z)}{2}}V\left[\tilde{Z}\right]\approx u(W_0+\mu_Z)-\Pi u^{\prime}(W_0+\mu_Z)\\ \Leftrightarrow\ \ &\Pi u^{\prime}(W_0+\mu_Z)\approx -\displaystyle{\frac{u^{\prime\prime}(W_0+\mu_Z)}{2}}V\left[\tilde{Z}\right]\\ \Leftrightarrow\ \ &\Pi\approx -\displaystyle{\frac{u^{\prime\prime}(W_0+\mu_Z)}{u^{\prime}(W_0+\mu_Z)}\frac{V\left[\tilde{Z}\right]}{2}} \end{aligned}$

が成り立つ。これにより、効用関数の1階および2階微分の情報および不確実な収益の分散が分かればリスク・プレミアムを近似し得ることが分かる。
　右辺に絶対的リスク回避度 $\mathrm{ARA}(x)$ を代入することで

$\begin{aligned} \Pi\approx \mathrm{ARA}(W_0+\mu_Z)\displaystyle{\frac{V\left[\tilde{Z}\right]}{2}} \end{aligned}$

と表現できる。
　ここまでの表現を書き換えるべく、リターン

$\begin{aligned} \tilde{r}=\displaystyle{\frac{\tilde{Z}}{W_0}} \end{aligned}$

を導入する。そしてこれに併せて相対的確実性等価および相対的リスク・プレミアム

$\begin{aligned} r^{\mathrm{CE}}&=\displaystyle{\frac{Z^{\mathrm{CE}}}{W_0}},\\ \pi&=\displaystyle{\frac{\Pi}{W_0}} \end{aligned}$

を導入することで、全く同様の議論を経て

$\begin{aligned} \pi\approx-\displaystyle{\frac{u^{\prime\prime}\left(W_0+\mu_Z\right)}{u^{\prime}\left(W_0+\mu_Z\right)}W_0\frac{V[\tilde{r}]}{2}} \end{aligned}$

を得る。特に $\mu_Z\approx0$ ならば更に

$\begin{aligned} \pi&\approx-\displaystyle{\frac{u^{\prime\prime}\left(W_0+\mu_Z\right)}{u^{\prime}\left(W_0\right)}W_0\frac{V[\tilde{r}]}{2}}\\ &=\mathrm{RRA}(W_0)\displaystyle{\frac{V[\tilde{r}]}{2}} \end{aligned}$

と書ける。

今回のまとめ

投資家にとって「投資の目的は効用の最大化である」と考える。「投資の1期間モデル」を「投資家のリスクに対する選好や資産運用の対象である金融資産市場の性質は変わらないと考え、将来消費がもたらす効用の期待値（期待効用）が最大になるように運用開始時点において最適な投資の在り方を考える」と考える。

金融資産の将来収益は、無リスク資産を除き、基本的に不確実である。この不確実性を表現するのに確率を用いる。

投資収益がもたらす消費に対する投資家の選好を表現するのに効用関数を用いる。

効用関数の凹度は、投資家のリスク回避水準を表現する、不確実な収益に対する各投資家の主観的なリスク・プレミアムを決定するという役割を担う。不確実な消費と確実な消費の効用の差は効用関数の凹度が大きいほど拡大する。

効用関数の1階および2階微分の情報および不確実な収益 $\tilde{Z}$ の分散が分かればリスク・プレミアム $\Pi$ を
$\begin{aligned}\Pi\approx -\displaystyle{\frac{u^{\prime\prime}(W_0+\mu_Z)}{u^{\prime}(W_0+\mu_Z)}\frac{V\left[\tilde{Z}\right]}{2}}\end{aligned}$
と近似し得る。

次回

power-of-awareness.com

*1:時点 $0$ では投資収益は未知であるから確率変数であり、そのことを強調するのに $\tilde{}$ を用いることにする。

0. はじめに

0.1 運用スタイル

1. 1期間モデルにおける最適投資の考え方

1.1 投資理論と効用関数

1.2 1期間モデルにおける不確実性

1.2.1 金融資産リターンと効用関数

2. 効用関数による投資家の選好表現

2.1. 期待効用とリスク・プレミアム

2.2 リスク回避度

2.2.1 リスク回避度によるリスク・プレミアムの近似