定番書
を基に線形代数を学び直していく。
今日のまとめ
- 内積の定義
2. 行列と線形写像
2.5 内積とユニタリ行列・直交行列
2.5.2 ノルムを巡る不等式
ノルムについて以下の2つの不等式が成り立つ:
( まず(1)を示す。
ならば示すべき不等式は
となり成立する。
の場合、
について、内積の性質から
が成り立つ。ここでは任意に取ったから、特に
とすれば上記した不等式は
次に(2)を示す。両辺を2乗した不等式を示す。
両辺の負でない平方根を取ることで(2)の成立を示すことが出来た。 )
2.5.4 行列を交えた内積の定義
型行列
、
の積
は
の元であるから、
とで内積を定義できる。その内積に関し以下が成り立つ。
逆に任意のに対して
ならば
である。
( まず前者について示す。
次に
が成り立つとする。このときに対して
が成立する。したがってに対して
であり、これは
を意味する。
)
2.5.5 対称行列と直交行列
行列に対して
を
の随伴行列といい、
で表す。
随伴行列は以下を満たす:
正方行列が
を満たすとき、
をHermite行列という。特に実Hermite行列を対称行列という。すなわち
転置行列が元の行列に等しい、すなわち
を満たすような正方行列を対称行列と言う。
また
を満たすような正方行列をユニタリ行列といい、特に
を満たすような実数を成分に持つ正方行列を直交行列という。
ユニタリ行列に関する以下の命題はすべて同値である:
(1)
はユニタリ行列である。
(2)に関して
(3)に関して
(4)の列ベクトル
に関して
(
まず(1)
(2)について
より成り立つ。次に(2)(3)について
であり、
であるが、(2)よりが成り立つ。
したがってと
の実数部分は一致している。他方で
に
を代入すると
により虚数部分も等しい。したがって
が成り立つ。
(3)(1)を示す。
について
であるから、
が成り立つ。
(1)(4)について
より成り立つ。
)