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やりなおしの数学・線形代数篇(005/X)

 定番書

を基に線形代数を学び直していく。

今日のまとめ

2. 行列と線形写像

2.5 内積とユニタリ行列・直交行列

2.5.1 内積

 n次元ベクトル\boldsymbol{x},\ \boldsymbol{y}\in\mathbb{C}^{n}に対して


\begin{aligned}
(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}):=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}x_i\bar{y}_i}
\end{aligned}

\boldsymbol{x},\ \boldsymbol{y}内積という。
 内積は以下の性質を持つ。\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x},_2,\boldsymbol{y}_1,\boldsymbol{y}_2\in\mathbb{C}^{n},\ c\in\mathbb{C}として


\begin{aligned}
\begin{cases}
(\boldsymbol{x}_1+\boldsymbol{x}_2,\boldsymbol{y}_1)=(\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{y}_1)+(\boldsymbol{x}_2,\boldsymbol{y}_1),\\
(\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{y}_1+\boldsymbol{y}_2)=(\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{y}_1)+(\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{y}_2),\\
(c\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{y}_1)=c(\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{y}_1),\\
(\boldsymbol{x}_1,c\boldsymbol{y}_1)=\bar{c}(\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{y}_1),\\
(\boldsymbol{y}_1,\boldsymbol{x}_1)=\overline{(\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{y}_1)},\\
(\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_1)\geq0,\\
(\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_1)=0\Longleftrightarrow \boldsymbol{x}_1=\boldsymbol{0}
\end{cases}
\end{aligned}

はじめの5つの性質をまとめて共役線形性といい、最後の2つの性質を正値性という。
 \boldsymbol{x}\in\mathbb{C}^{n}について


\begin{aligned}
\|\boldsymbol{x}\|=\sqrt{(\boldsymbol{x},\boldsymbol{x})}
\end{aligned}

\boldsymbol{x}のノルムという。

2.5.2 ノルムを巡る不等式

 ノルムについて以下の2つの不等式が成り立つ:


\begin{aligned}
(1)&\ \ \ \ \ |(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})|\leq\|\boldsymbol{x}\|\cdot\|\boldsymbol{y}\|,&\ \ \ \ \ \ \ \ \ (Schwartzの不等式)\\
(2)&\ \ \ \ \ \|\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\|\leq\|\boldsymbol{x}\|+\|\boldsymbol{y}\|&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (三角不等式)
\end{aligned}

(\because まず(1)を示す。\boldsymbol{y}=\boldsymbol{0}ならば示すべき不等式は0\leq0となり成立する。
 \boldsymbol{y}\neq\boldsymbol{0}の場合、{}^{\forall}a,{}^{\forall}b\in\mathbb{C}について、内積の性質から


\begin{aligned}
0\leq\|a\boldsymbol{x}+b\boldsymbol{y}\|^2=|a|^2\|\boldsymbol{x}\|^2+a\bar{b}\|\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\|+\bar{a}b\|\boldsymbol{y},\boldsymbol{x}\|+|b|^2\|\boldsymbol{y}\|^2
\end{aligned}

が成り立つ。ここでa,bは任意に取ったから、特にa=\|\boldsymbol{y}\|^2,b=-(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})とすれば上記した不等式は


\begin{aligned}
0&\leq\|\boldsymbol{y}\|^4\|\boldsymbol{x}\|^2-\|\boldsymbol{y}\|^2|(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})|^2-\|\boldsymbol{y}\|^2|(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})|^2+\|\boldsymbol{y}\|^2|(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})|^2\\
&=\|\boldsymbol{y}\|^2\{\|\boldsymbol{x}\|^2\|\boldsymbol{y}\|^2-|(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})|^2\}^2\\
\therefore\ \ &0\leq \{\|\boldsymbol{x}\|^2\|\boldsymbol{y}\|^2-|(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})|^2\}^2\\
\Longleftrightarrow\ \ &|(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})|\leq \|\boldsymbol{x}\| \|\boldsymbol{y}\|
\end{aligned}

 次に(2)を示す。両辺を2乗した不等式を示す。


\begin{aligned}
\|\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\|^2=&\|\boldsymbol{x}\|^2+(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})+\overline{(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})}+\|\boldsymbol{y}\|^2\\
\leq&\|\boldsymbol{x}\|^2+2|(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})|+\|\boldsymbol{y}\|^2\\
\leq&\|\boldsymbol{x}\|^2+2\|\boldsymbol{x}\|\|\boldsymbol{y}\|+\|\boldsymbol{y}\|^2\\
=&(\|\boldsymbol{x}\|+\|\boldsymbol{y}\|)^2
\end{aligned}

両辺の負でない平方根を取ることで(2)の成立を示すことが出来た。 \blacksquare)

2.5.3 直交

 内積(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=0のとき、\boldsymbol{x}\boldsymbol{y}は直交するという。これは幾何学的な意味での直交をベクトルに翻訳したものである。

2.5.4 行列を交えた内積の定義

 (m,n)型行列A\boldsymbol{x}\in\mathbb{C}^{n}の積A\boldsymbol{x}\mathbb{C}^{m}の元であるから、{}^{\forall}\boldsymbol{y}\in\mathbb{C}^{m}とで内積を定義できる。その内積に関し以下が成り立つ。


\begin{aligned}
(A\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=(\boldsymbol{x},{}^{t}\bar{A}\boldsymbol{y})
\end{aligned}
 逆に任意の\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}に対して

\begin{aligned}
(A\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=(\boldsymbol{x},B\boldsymbol{y})
\end{aligned}

ならばB={}^{t}\bar{A}である。

(\because まず前者について示す。


\begin{aligned}
(A\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})={}^{t}(A\boldsymbol{x})\bar{\boldsymbol{y}}={}^{t}\boldsymbol{x}{}^{t}A\bar{\boldsymbol{y}}={}^{t}\boldsymbol{x}(\overline{{}^{t}\bar{A}\boldsymbol{y}})=(\boldsymbol{x},{}^{t}\bar{A}\boldsymbol{y})
\end{aligned}

 次に


\begin{aligned}
(A\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=(\boldsymbol{x},B\boldsymbol{y})
\end{aligned}

が成り立つとする。このとき{}^{\forall}\boldsymbol{x}に対して


\begin{aligned}
(\boldsymbol{x},({}^{t}\bar{A}-B)\boldsymbol{y})=0
\end{aligned}

が成立する。したがって{}^{\forall}\boldsymbol{y}に対して({}^{t}\bar{A}-B)\boldsymbol{y}=\boldsymbol{0}であり、これはB={}^{t}\bar{A}を意味する。 \blacksquare

2.5.5 対称行列と直交行列

 行列Aに対して{}^{t}\bar{A}Aの随伴行列といい、A^{*}で表す。
 随伴行列は以下を満たす:


\begin{aligned}
(A^{*})^{*}=A,&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (A+B)^{*}=A^{*}+B^{*}\\
(cA)^{*}=\bar{c}A^{*},&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (AB)^{*}=B^{*}A^{*}
\end{aligned}

 正方行列AA=A^{*}を満たすとき、AをHermite行列という。特に実Hermite行列を対称行列という。すなわち

 転置行列が元の行列に等しい、すなわち


\begin{aligned}
A={}^{t}A
\end{aligned}

を満たすような正方行列を対称行列と言う。

 また


\begin{aligned}
A{}^{*}A=I
\end{aligned}

を満たすような正方行列をユニタリ行列といい、特に


\begin{aligned}
A{}^{t}A=I
\end{aligned}

を満たすような実数を成分に持つ正方行列を直交行列という。


 ユニタリ行列に関する以下の命題はすべて同値である:

(1) Aはユニタリ行列である。
(2) {}^{\forall}\boldsymbol{x}\in\mathbb{C}^{n}に関して


\begin{aligned}
\|A\boldsymbol{x}\|=\|\boldsymbol{x}\|
\end{aligned}
(3) {}^{\forall}\boldsymbol{x},{}^{\forall}\boldsymbol{y}\in\mathbb{C}^{n}に関して

\begin{aligned}
(A\boldsymbol{x},A\boldsymbol{y})=(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})
\end{aligned}
(4)Aの列ベクトル\boldsymbol{a}_1,\cdots,\boldsymbol{a}_nに関して

\begin{aligned}
(\boldsymbol{a}_i,\boldsymbol{a}_j)=\delta_{ij}=\begin{cases}
1,&\ \ i=j,\\
0,&\ \ i\neq j
\end{cases}
\end{aligned}

(\because まず(1)\Longrightarrow(2)について


\begin{aligned}
\|A\boldsymbol{x}\|&=(A\boldsymbol{x},A\boldsymbol{x})={}^{t}\boldsymbol{x}{}^{t}A\bar{A}\bar{\boldsymbol{x}}\\
&={}^{t}\boldsymbol{x}\bar{\boldsymbol{x}}=\|\boldsymbol{x}\|^2
\end{aligned}
より成り立つ。次に(2)\Longrightarrow(3)について

\begin{aligned}
\|\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\|^2=\|\boldsymbol{x}\|^2+(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})+(\overline{\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}})+\|\boldsymbol{y}\|^2
\end{aligned}

であり、


\begin{aligned}
\|A(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})\|^2=\|A\boldsymbol{x}\|^2+(A\boldsymbol{x},A\boldsymbol{y})+(\overline{A\boldsymbol{x},A\boldsymbol{y}})+\|A\boldsymbol{y}\|^2
\end{aligned}
であるが、(2)より

\begin{aligned}
\|(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})\|^2=\|A(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})\|^2&=\|A\boldsymbol{x}\|^2+(A\boldsymbol{x},A\boldsymbol{y})+(\overline{A\boldsymbol{x},A\boldsymbol{y}})+\|A\boldsymbol{y}\|^2\\
&=\|\boldsymbol{x}\|^2+(A\boldsymbol{x},A\boldsymbol{y})+(\overline{A\boldsymbol{x},A\boldsymbol{y}})+\|\boldsymbol{y}\|^2\\
&=\|\boldsymbol{x}\|^2+(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})+(\overline{\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}})+\|\boldsymbol{y}\|^2\\
\therefore&\ \ \ \ (\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})+(\overline{\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}})=(A\boldsymbol{x},A\boldsymbol{y})+(\overline{A\boldsymbol{x},A\boldsymbol{y}})
\end{aligned}

が成り立つ。
 したがって(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})(A\boldsymbol{x},A\boldsymbol{y})の実数部分は一致している。他方で\boldsymbol{x}i\boldsymbol{x}を代入すると


\begin{aligned}
i\{(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})-\overline{(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})}\}=i\{A(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})-(A\boldsymbol{x},A\boldsymbol{y})\}
\end{aligned}

により虚数部分も等しい。したがって


\begin{aligned}
(A\boldsymbol{x},A\boldsymbol{y})=(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})
\end{aligned}

が成り立つ。
 (3)\Longrightarrow(1)を示す。{}^{\forall}\boldsymbol{x},{}^{\forall}\boldsymbol{y}について


\begin{aligned}
(\boldsymbol{x},(A^{*}A-I)\boldsymbol{y})&=(\boldsymbol{x},A^{*}A\boldsymbol{y})-(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})\\
&=(A\boldsymbol{x},A\boldsymbol{y})-(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=0
\end{aligned}

であるから、A^{*}A-I=Oが成り立つ。
 (1)\Longrightarrow(4)について


\begin{aligned}
{}^{t}A\bar{A}=\begin{bmatrix}
(\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_1)&(\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2)&\cdots&(\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_n)\\
(\boldsymbol{a}_2,\boldsymbol{a}_1)&(\boldsymbol{a}_2,\boldsymbol{a}_2)&\cdots&(\boldsymbol{a}_2,\boldsymbol{a}_n)\\
\vdots&\vdots&&\vdots\\
(\boldsymbol{a}_n,\boldsymbol{a}_1)&(\boldsymbol{a}_n,\boldsymbol{a}_2)&\cdots&(\boldsymbol{a}_n,\boldsymbol{a}_n)\\
\end{bmatrix}
\end{aligned}

より成り立つ。 \blacksquare)

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