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やりなおしの数学・線形代数篇(002/X)

 定番書

を基に線形代数を学び直していく。


\begin{aligned}
A=(a_{ij})=\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \ddots  & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\
\end{bmatrix}
\end{aligned}


\begin{aligned}
\end{aligned}

今日のまとめ

  • n次元列ベクトル全体の集合行列\mathbb{C}^nについて、写像 T: \mathbb{C}^n\rightarrow\mathbb{C}^mが次の2つの性質
    \begin{aligned}T(x+y)=&Tx+Ty,\\T(cx)=&c(T(x))\end{aligned}
    をもつとき、T線形写像という。

2. 行列と線形写像

2.1 線形写像の定義

 n次元列ベクトル全体の集合行列\mathbb{C}^nについて、写像 T: \mathbb{C}^n\rightarrow\mathbb{C}^mが次の2つの性質


\begin{aligned}
T(x+y)=&Tx+Ty,\\
T(cx)=&c(T(x))
\end{aligned}
をもつとき、T線形写像という。

2.2 行列と線形写像の関係

 写像T_A: \mathbb{C}^n\rightarrow\mathbb{C}^mが行列Aを用いてT_{A}(\boldsymbol{x})=A\boldsymbol{x}と書けるならばT_Aは線形である。逆に\mathbb{C}^nから\mathbb{C}^mへの線形写像はある(m,n)行列によって定まる写像に限る。

\because 必要条件について、写像T_A:\mathbb{C}^n\rightarrow\mathbb{C}^mが行列Aを用いてT_A(\boldsymbol{x})=A\boldsymbol{x}と書けると仮定する。このときx,y\in\mathbb{C}^nについて


\begin{aligned}
T_{A}(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})=&A(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})=A\boldsymbol{x}+A\boldsymbol{y}=T_A (\boldsymbol{x})+T_A (\boldsymbol{y}),\\
T_{A}(c\boldsymbol{x})=&Ac\boldsymbol{x}=c(A\boldsymbol{x})=cT_A (\boldsymbol{x})
\end{aligned}
が成り立つ。
 逆に写像T:\mathbb{C}^n\rightarrow\mathbb{C}^mを線形写像とする。\mathbb{C}^nn項単位ベクトルを\boldsymbol{e}_iとし、

\begin{aligned}
T(\boldsymbol{e}_i)=a_{ii},\ i=1,\cdots,n
\end{aligned}
とおく。またA:=(\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m)と定義する。このとき、

\begin{aligned}
T(\boldsymbol{e}_i)=\boldsymbol{a}_i
\end{aligned}
とおく。\boldsymbol{a}_jm項列ベクトルである。これらを並べて出来る行列

\begin{aligned}
A=(\boldsymbol{a}_1,\cdots,\boldsymbol{a}_n)
\end{aligned}
を考え、Aによって定まる\mathbb{C}^nから\mathbb{C}^mへの線形写像T_Aとすれば、

\begin{aligned}
T_A(\boldsymbol{e}_j)=A\boldsymbol{e}_j=\boldsymbol{a}_j=T\boldsymbol{e}_j
\end{aligned}
が成り立つ。
 \mathbb{C}^nの任意のベクトル\boldsymbol{x}は単位ベクトルの線形結合として

\begin{aligned}
\boldsymbol{x}\displaystyle{\sum_{i=1}^{n} x_j\boldsymbol{e}_j},\ x_j\in\mathbb{R}
\end{aligned}
と表されるから

\begin{aligned}
T_{A}(\boldsymbol{x})=T_{A}\left(\displaystyle{\sum_{j=1}^{n}x_j\boldsymbol{e}_j}\right)=\displaystyle{\sum_{j=1}^{n}x_jT_A(\boldsymbol{e}_j)}=\displaystyle{\sum_{j=1}^{n}x_jT(\boldsymbol{e}_j)}=T\left(\displaystyle{\sum_{j=1}^{n}x_j\boldsymbol{e}_j}\right)=T\boldsymbol{x}
\end{aligned}
が成り立ち、これはT_A=Tを意味する。\blacksquare

2.2.1 合成変換

 線形写像T:\mathbb{C}^m\rightarrow \mathbb{C}^n,\ S:\mathbb{C}^n\rightarrow\mathbb{C}^{l}についてそれぞれ行列A,Bで定まるものとする。このとき


\begin{aligned}
T_{B}\circ T_{A}=BA
\end{aligned}
が成り立つ、すなわち合成写像T_B\circ T_Aは行列BAで定まる。
(\because 

\begin{aligned}
T_{B}\circ T_{A}(\boldsymbol{x})=T_{B}(T_A(\boldsymbol{x}))=T_B (A\boldsymbol{x})=B(A\boldsymbol{x})=(BA)\boldsymbol{x}=T_{BA}(\boldsymbol{x})
\end{aligned}
が成り立つ。\blacksquare

2.2.2 逆変換

 An正則行列であるとき、


\begin{aligned}
T_{A}\circ T_{A^{-1}}=T_{A^{-1}}\circ T_{A}=I
\end{aligned}
を満たすT_{A^{-1}}を逆変換という。ここでI

\begin{aligned}
I\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}
\end{aligned}
を満たすもので恒等変換という。

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