やりなおしの数学・線形代数篇（02/26） - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　定番書

作者:齋藤正彦
東京大学出版会

を基に線形代数を学び直していく。

今日のまとめ
2.　行列と線形写像
- 2.1　線形写像の定義
- 2.2　行列と線形写像の関係
  - 2.2.1　合成変換
  - 2.2.2　逆変換

$\begin{aligned} A=(a_{ij})=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{bmatrix} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \end{aligned}$

今日のまとめ

$n$ 次元列ベクトル全体の集合行列 $\mathbb{C}^n$ について、写像 $T: \mathbb{C}^n\rightarrow\mathbb{C}^m$ が次の2つの性質
$\begin{aligned}T(x+y)=&Tx+Ty,\\T(cx)=&c(T(x))\end{aligned}$
をもつとき、 $T$ を線形写像という。

2.　行列と線形写像

2.1　線形写像の定義

　 $n$ 次元列ベクトル全体の集合行列 $\mathbb{C}^n$ について、写像 $T: \mathbb{C}^n\rightarrow\mathbb{C}^m$ が次の2つの性質

$\begin{aligned} T(x+y)=&Tx+Ty,\\ T(cx)=&c(T(x)) \end{aligned}$

をもつとき、 $T$ を線形写像という。

2.2　行列と線形写像の関係

　写像 $T_A: \mathbb{C}^n\rightarrow\mathbb{C}^m$ が行列 $A$ を用いて $T_{A}(\boldsymbol{x})=A\boldsymbol{x}$ と書けるならば $T_A$ は線形である。逆に $\mathbb{C}^n$ から $\mathbb{C}^m$ への線形写像はある $(m,n)$ 行列によって定まる写像に限る。

（ $\because$ 　必要条件について、写像 $T_A:\mathbb{C}^n\rightarrow\mathbb{C}^m$ が行列 $A$ を用いて $T_A(\boldsymbol{x})=A\boldsymbol{x}$ と書けると仮定する。このとき $x,y\in\mathbb{C}^n$ について

$\begin{aligned} T_{A}(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})=&A(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})=A\boldsymbol{x}+A\boldsymbol{y}=T_A (\boldsymbol{x})+T_A (\boldsymbol{y}),\\ T_{A}(c\boldsymbol{x})=&Ac\boldsymbol{x}=c(A\boldsymbol{x})=cT_A (\boldsymbol{x}) \end{aligned}$

が成り立つ。
　逆に写像 $T:\mathbb{C}^n\rightarrow\mathbb{C}^m$ を線形写像とする。 $\mathbb{C}^n$ の $n$ 項単位ベクトルを $\boldsymbol{e}_i$ とし、

$\begin{aligned} T(\boldsymbol{e}_i)=a_{ii},\ i=1,\cdots,n \end{aligned}$

とおく。また $A:=(\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m)$ と定義する。このとき、

$\begin{aligned} T(\boldsymbol{e}_i)=\boldsymbol{a}_i \end{aligned}$

とおく。 $\boldsymbol{a}_j$ は $m$ 項列ベクトルである。これらを並べて出来る行列

$\begin{aligned} A=(\boldsymbol{a}_1,\cdots,\boldsymbol{a}_n) \end{aligned}$

を考え、 $A$ によって定まる $\mathbb{C}^n$ から $\mathbb{C}^m$ への線形写像を $T_A$ とすれば、

$\begin{aligned} T_A(\boldsymbol{e}_j)=A\boldsymbol{e}_j=\boldsymbol{a}_j=T\boldsymbol{e}_j \end{aligned}$

が成り立つ。
　 $\mathbb{C}^n$ の任意のベクトル $\boldsymbol{x}$ は単位ベクトルの線形結合として

$\begin{aligned} \boldsymbol{x}\displaystyle{\sum_{i=1}^{n} x_j\boldsymbol{e}_j},\ x_j\in\mathbb{R} \end{aligned}$

と表されるから

$\begin{aligned} T_{A}(\boldsymbol{x})=T_{A}\left(\displaystyle{\sum_{j=1}^{n}x_j\boldsymbol{e}_j}\right)=\displaystyle{\sum_{j=1}^{n}x_jT_A(\boldsymbol{e}_j)}=\displaystyle{\sum_{j=1}^{n}x_jT(\boldsymbol{e}_j)}=T\left(\displaystyle{\sum_{j=1}^{n}x_j\boldsymbol{e}_j}\right)=T\boldsymbol{x} \end{aligned}$

が成り立ち、これは $T_A=T$ を意味する。 $\blacksquare$ ）

2.2.1　合成変換

　線形写像 $T:\mathbb{C}^m\rightarrow \mathbb{C}^n,\ S:\mathbb{C}^n\rightarrow\mathbb{C}^{l}$ についてそれぞれ行列 $A,B$ で定まるものとする。このとき

$\begin{aligned} T_{B}\circ T_{A}=BA \end{aligned}$

が成り立つ、すなわち合成写像 $T_B\circ T_A$ は行列 $BA$ で定まる。
( $\because$ 　

$\begin{aligned} T_{B}\circ T_{A}(\boldsymbol{x})=T_{B}(T_A(\boldsymbol{x}))=T_B (A\boldsymbol{x})=B(A\boldsymbol{x})=(BA)\boldsymbol{x}=T_{BA}(\boldsymbol{x}) \end{aligned}$