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やりなおしの数学・微分積分篇(002/X)

以下の書籍を参考に、改めて微分積分を復習していく。

www.rokakuho.co.jp

今日のまとめ

  • x\in A\subset\mathbb{R}に対してf(x)\in Bを対応させたもの
    \begin{aligned}f:A\rightarrow B;\ x\mapsto f(x)\end{aligned}
    を集合Aから集合Bへの関数という。
  • 写像f:A\rightarrow B;\ x\mapsto f(x)が上への一対一であるとき、すべてのx\in A,\ y\in Bに対して
    \begin{aligned}f^{-1}(f(x))&=x;\\f(f^{-1}(y))&=y\end{aligned}
    を満たすような写像f^{-1}:B\rightarrow Aが存在し、これを逆写像という。

2. 集合と写像に関する諸概念

2.1 写像の定義

 2つの空でない集合A, Bが与えられたとき、集合Aから集合Bへの写像fとは、x\in Aに対してf(x)\in Bを対応させるものを指し、


\begin{aligned}
f:A\rightarrow B;\ x\mapsto f(x)
\end{aligned}

と記述する。特に実数(の部分集合)から実数(の部分集合)への写像を関数という。
 写像fが与えられたときにA写像f定義域といい、集合


\begin{aligned}
f(A)=\{f(x)|x\in A\}
\end{aligned}

Afによる像という。
 実数の部分集合として”ある値とある値の間”という区間を扱うことが多い。そこで区間についていくつかの定義を行なう。以下、a,b\in\mathbb{R},\ a\lt bとして

  • 区間:両方の境界を含まない場合


\begin{aligned}
(a,b)=\{x\in\mathbb{R}|a\lt x\lt b\}
\end{aligned}

  • 区間:両方の境界を含む場合


\begin{aligned}
(a,b)=\{x\in\mathbb{R}|a\leq x\leq b\}
\end{aligned}

  • (左・右)半開区間:一方の境界を含む場合


\begin{aligned}
\left[a,b\right)&=\{x\in\mathbb{R}|a \leq x\lt b\},\\
\left(a,b\right]&=\{x\in\mathbb{R}|a \lt x \leq b\}
\end{aligned}

区間」はこれらの総称である。

2.2 1対1写像、上への写像、逆写像

2.2.1 1対1写像

 写像f:A\rightarrow Bに対し任意のa\in A,\ b\in Bについて


\begin{aligned}
&a\neq b\Rightarrow f(a)\neq f(b)\\
\Leftrightarrow&f(a)=f(b)\Rightarrow a=b
\end{aligned}
ならばf1対1であるという。これはfが取るとある値f(a)を与えるようなa\in Aはただ1つしか存在しないことを数学的に表現している。

2.2.2 上への写像

 写像f:A\rightarrow Bに対し


\begin{aligned}
f(A)=B
\end{aligned}
が成り立つとき、f上への写像であるという。

また、一対一写像、上への写像をそれぞれ単射全射ともいい、双方を満たす写像、すなわち上への一対一写像全単射とも言う。

2.2.3 逆写像

 写像f:A\rightarrow B;\ x\mapsto f(x)が上への一対一であるとき、すべてのx\in A,\ y\in Bに対して


\begin{aligned}
f^{-1}(f(x))&=x;\\
f(f^{-1}(y))&=y
\end{aligned}
を満たすような写像f^{-1}:B\rightarrow Aが存在する。これを逆写像という。

2.3 単調増加・単調減少

 I\subset\mathbb{R}区間とする。
 関数f:I\rightarrow\mathbb{R}が単調増加であるとは、任意のx\in I,\ y\in\mathbb{R}に対して


\begin{aligned}
x\lt y\Rightarrow f(x)\leq f(y)
\end{aligned}

特に


\begin{aligned}
x\lt y\Rightarrow f(x)\lt f(y)
\end{aligned}

が成り立つとき、fは狭義単調増加であるという。
 これと同様に任意のx\in I,\ y\in\mathbb{R}に対して


\begin{aligned}
x\lt y\Rightarrow f(x)\geq f(y)
\end{aligned}

が成り立つとき、fは単調減少であるという(狭義単調増加と同様に狭義単調減少も成り立つ。)。
 区間I,J\in\mathbb{R}についてf:I\rightarrow Jが上への狭義単調増加(または減少)であるならば、f(x)全単射である。
 実際、任意の実数a,bについてa=b,\ a\lt b,\ a\gt bのいずれか一つが成り立つことに注意すれば、f(a)=f(b)であるときにもa,bに関してそれらのうち1つが成り立つ。しかし、a\lt bまたはa\gt bならば、狭義単調増加のとき、それぞれ


\begin{aligned}
f(a)\lt f(b),\ f(a) \gt f(b)
\end{aligned}

が、もしくは狭義単調減少のとき


\begin{aligned}
f(a)\gt f(b),\ f(a) \lt f(b)
\end{aligned}

が成り立ち、前提を満たさない。したがってa=bであり、これは単射であることを意味している。
そして、そもそもf単射であることを仮定していたことを踏まえると、区間I,J\in\mathbb{R}についてf:I\rightarrow Jが上への狭義単調増加(または減少)であるならば、f(x)全単射であり、したがって逆写像f^{-1}が存在する。

2.4 逆関数微分

 関数f:I\rightarrow J\subset\mathbb{R};\ x\mapsto f(x)微分可能で全単射、すなわち逆関数f^{-1}が存在すると仮定する。またx\in\mathbb{R}についてf^{\prime}(x)\lt0またはf^{\prime}(x)\gt0が成り立つとする。
 このときf^{-1}微分可能であり、


\begin{aligned}
(f^{-1})^{\prime}(y)=\displaystyle{\frac{1}{f^{\prime}(f^{-1}(y))}},\ y\in J
\end{aligned}
が成り立つ。
\because 逆関数の定義から


\begin{aligned}
f(f^{-1}(y))=y,\ y\in J
\end{aligned}

が成り立つ。この両辺をyについて微分することで


\begin{aligned}
&f^{\prime}(f^{-1}(y))(f^{-1})^{\prime}(y)=1\\
\Leftrightarrow&(f^{-1})^{\prime}(y)=\displaystyle{\frac{1}{f^{\prime}(f^{-1}(y))}}
\end{aligned}
が成り立つ。

2.5 逆三角関数

 逆関数を導入したことで、さまざまな関数について逆関数を考えてみたい。
 まずは三角関数である。ただし、三角関数は周期性を持つためにすべての定義域を考えては全単射性を持たない。そこでたとえば


\begin{aligned}
\sin x&:\ \left[-\frac{2\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\rightarrow \left[-1,1\right]\\
\cos x&:\ \left[0,\pi\right]\rightarrow \left[-1,1\right]
\end{aligned}

と定義域を限定する。
 三角関数y=\sin x,\ y=\cos xに対して


\begin{aligned}
x=\sin^{-1} y,\ x=\cos^{-1} y
\end{aligned}

をそれぞれ\arcsin x,\ \arccos xと書く(\frac{1}{\sin x},\ \frac{1}{\cos x}と混同しないため。)。
 これらの微分を考えると、


\begin{aligned}
\displaystyle{\frac{d}{dx}}\arcsin x &=\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}\\
\displaystyle{\frac{d}{dx}}\arccos x&=-\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}
\end{aligned}
が成り立つ。
 実際、2.4の結果を用いれば、\frac{d}{dx}\sin x=\cos x,\ \frac{d}{dx}\cos x=-\sin xであることを踏まえつつ、


\begin{aligned}
\displaystyle{\frac{d}{dx}}\arcsin x &=\displaystyle{\frac{1}{\cos(\arcsin x)}}=\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}\\
\displaystyle{\frac{d}{dx}}\arccos x &=-\displaystyle{\frac{1}{\sin(\arccos x)}}=\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}\\
\end{aligned}

 また\tanについても同様に逆関数を定義する。x=\tan \theta,\ \theta\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]について


\begin{aligned}
\arctan(\tan \theta)&=x,\\
\tan(\arctan x)&=\theta,\\
\end{aligned}

を満たすような\arctan xx=\tan \theta逆関数である。

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