やりなおしの数学・微分積分篇（02/X） - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

以下の書籍

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を参考に、改めて微分積分を復習していく。

前回

今日のまとめ

$x\in A\subset\mathbb{R}$ に対して $f(x)\in B$ を対応させたもの
$\begin{aligned}f:A\rightarrow B;\ x\mapsto f(x)\end{aligned}$
を集合 $A$ から集合 $B$ への関数という。

写像 $f:A\rightarrow B;\ x\mapsto f(x)$ が上への一対一であるとき、すべての $x\in A,\ y\in B$ に対して
$\begin{aligned}f^{-1}(f(x))&=x;\\f(f^{-1}(y))&=y\end{aligned}$
を満たすような写像 $f^{-1}:B\rightarrow A$ が存在し、これを逆写像という。

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今日のまとめ
2.　集合と写像に関する諸概念
次回

2.　集合と写像に関する諸概念

2.1　写像の定義

　2つの空でない集合 $A, B$ が与えられたとき、集合 $A$ から集合 $B$ への写像 $f$ とは、 $x\in A$ に対して $f(x)\in B$ を対応させるものを指し、

$\begin{aligned} f:A\rightarrow B;\ x\mapsto f(x) \end{aligned}$

と記述する。特に実数（の部分集合）から実数（の部分集合）への写像を関数という。
　写像 $f$ が与えられたときに $A$ を写像 $f$ の定義域といい、集合

$\begin{aligned} f(A)=\{f(x)|x\in A\} \end{aligned}$

を $A$ の $f$ による像という。
　実数の部分集合として”ある値とある値の間”という区間を扱うことが多い。そこで区間についていくつかの定義を行なう。以下、 $a,b\in\mathbb{R},\ a\lt b$ として

開区間：両方の境界を含まない場合

$\begin{aligned} (a,b)=\{x\in\mathbb{R}|a\lt x\lt b\} \end{aligned}$

閉区間：両方の境界を含む場合

$\begin{aligned} (a,b)=\{x\in\mathbb{R}|a\leq x\leq b\} \end{aligned}$

（左・右）半開区間：一方の境界を含む場合

$\begin{aligned} \left[a,b\right)&=\{x\in\mathbb{R}|a \leq x\lt b\},\\ \left(a,b\right]&=\{x\in\mathbb{R}|a \lt x \leq b\} \end{aligned}$

「区間」はこれらの総称である。

2.2　1対1写像、上への写像、逆写像

2.2.1　1対1写像

　写像 $f:A\rightarrow B$ に対し任意の $a\in A,\ b\in B$ について

$\begin{aligned} &a\neq b\Rightarrow f(a)\neq f(b)\\ \Leftrightarrow&f(a)=f(b)\Rightarrow a=b \end{aligned}$

ならば $f$ は1対1であるという。これは $f$ が取るとある値 $f(a)$ を与えるような $a\in A$ はただ1つしか存在しないことを数学的に表現している。

2.2.2　上への写像

　写像 $f:A\rightarrow B$ に対し

$\begin{aligned} f(A)=B \end{aligned}$

が成り立つとき、 $f$ は上への写像であるという。

また、一対一写像、上への写像をそれぞれ単射、全射ともいい、双方を満たす写像、すなわち上への一対一写像を全単射とも言う。

2.2.3　逆写像

　写像 $f:A\rightarrow B;\ x\mapsto f(x)$ が上への一対一であるとき、すべての $x\in A,\ y\in B$ に対して

$\begin{aligned} f^{-1}(f(x))&=x;\\ f(f^{-1}(y))&=y \end{aligned}$

を満たすような写像 $f^{-1}:B\rightarrow A$ が存在する。これを逆写像という。

2.3　単調増加・単調減少

　 $I\subset\mathbb{R}$ を区間とする。
　関数 $f:I\rightarrow\mathbb{R}$ が単調増加であるとは、任意の $x\in I,\ y\in\mathbb{R}$ に対して

$\begin{aligned} x\lt y\Rightarrow f(x)\leq f(y) \end{aligned}$

特に

$\begin{aligned} x\lt y\Rightarrow f(x)\lt f(y) \end{aligned}$

が成り立つとき、 $f$ は狭義単調増加であるという。
　これと同様に任意の $x\in I,\ y\in\mathbb{R}$ に対して

$\begin{aligned} x\lt y\Rightarrow f(x)\geq f(y) \end{aligned}$

が成り立つとき、 $f$ は単調減少であるという（狭義単調増加と同様に狭義単調減少も成り立つ。）。
　区間 $I,J\in\mathbb{R}$ について $f:I\rightarrow J$ が上への狭義単調増加（または減少）であるならば、 $f(x)$ は全単射である。
　実際、任意の実数 $a,b$ について $a=b,\ a\lt b,\ a\gt b$ のいずれか一つが成り立つことに注意すれば、 $f(a)=f(b)$ であるときにも $a,b$ に関してそれらのうち1つが成り立つ。しかし、 $a\lt b$ または $a\gt b$ ならば、狭義単調増加のとき、それぞれ

$\begin{aligned} f(a)\lt f(b),\ f(a) \gt f(b) \end{aligned}$

が、もしくは狭義単調減少のとき

$\begin{aligned} f(a)\gt f(b),\ f(a) \lt f(b) \end{aligned}$

が成り立ち、前提を満たさない。したがって $a=b$ であり、これは単射であることを意味している。
そして、そもそも $f$ が単射であることを仮定していたことを踏まえると、区間 $I,J\in\mathbb{R}$ について $f:I\rightarrow J$ が上への狭義単調増加（または減少）であるならば、 $f(x)$ は全単射であり、したがって逆写像 $f^{-1}$ が存在する。

2.4　逆関数の微分

　関数 $f:I\rightarrow J\subset\mathbb{R};\ x\mapsto f(x)$ が微分可能で全単射、すなわち逆関数 $f^{-1}$ が存在すると仮定する。また $x\in\mathbb{R}$ について $f^{\prime}(x)\lt0$ または $f^{\prime}(x)\gt0$ が成り立つとする。
　このとき $f^{-1}$ は微分可能であり、

$\begin{aligned} (f^{-1})^{\prime}(y)=\displaystyle{\frac{1}{f^{\prime}(f^{-1}(y))}},\ y\in J \end{aligned}$

が成り立つ。
$\because$ 逆関数の定義から

$\begin{aligned} f(f^{-1}(y))=y,\ y\in J \end{aligned}$

が成り立つ。この両辺を $y$ について微分することで

$\begin{aligned} &f^{\prime}(f^{-1}(y))(f^{-1})^{\prime}(y)=1\\ \Leftrightarrow&(f^{-1})^{\prime}(y)=\displaystyle{\frac{1}{f^{\prime}(f^{-1}(y))}} \end{aligned}$

が成り立つ。

2.5　逆三角関数

　逆関数を導入したことで、さまざまな関数について逆関数を考えてみたい。
　まずは三角関数である。ただし、三角関数は周期性を持つためにすべての定義域を考えては全単射性を持たない。そこでたとえば

$\begin{aligned} \sin x&:\ \left[-\frac{2\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\rightarrow \left[-1,1\right]\\ \cos x&:\ \left[0,\pi\right]\rightarrow \left[-1,1\right] \end{aligned}$

と定義域を限定する。
　三角関数 $y=\sin x,\ y=\cos x$ に対して

$\begin{aligned} x=\sin^{-1} y,\ x=\cos^{-1} y \end{aligned}$

をそれぞれ $\arcsin x,\ \arccos x$ と書く（ $\frac{1}{\sin x},\ \frac{1}{\cos x}$ と混同しないため。）。
　これらの微分を考えると、

$\begin{aligned} \displaystyle{\frac{d}{dx}}\arcsin x &=\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}\\ \displaystyle{\frac{d}{dx}}\arccos x&=-\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}} \end{aligned}$

が成り立つ。
　実際、2.4の結果を用いれば、 $\frac{d}{dx}\sin x=\cos x,\ \frac{d}{dx}\cos x=-\sin x$ であることを踏まえつつ、

$\begin{aligned} \displaystyle{\frac{d}{dx}}\arcsin x &=\displaystyle{\frac{1}{\cos(\arcsin x)}}=\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}\\ \displaystyle{\frac{d}{dx}}\arccos x &=-\displaystyle{\frac{1}{\sin(\arccos x)}}=\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}\\ \end{aligned}$