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今日のまとめ
1. 基本的な関数の微分
関数を考える。
1.1 連続
関数が
において
を満たすとき、関数が
で連続であるという。連続を直観的に言えば
をグラフとして手で書こうと思ったときに、
の前後で一筆書きで書けることを意味し、それを数学的に表現したものが上記の定義である。また関数
がその定義域に属するすべての値において連続である場合、関数
は連続であるという。
1.2 微分の定義
関数に対し極限
が存在するとき、この関数[f(x)]はにおいて微分可能であるといい、上記極限の値を
または
と書き、関数
の
における微分係数という。また
を
の関数と見たとき、これを
の導関数という。さらに関数
が定義域すべてで微分可能であるとき、関数
が微分可能であるという。
上記の極限はとおくと、
のとき
であり
と書き換えることもできる。
1.2.1 定義による微分の例
- 関数
について
- 関数
について
加法定理よりが成り立つ。また極限
を用いれば
- 関数
について
ここでの定義
においてとおくと
のとき
であるから
したがって
である。さらにとおけば
、
のとき
であり
すなわち
である。以上より