「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

一流の大人(ビジネスマン、政治家、リーダー…)として知っておきたい、教養・社会動向を意外なところから取り上げ学ぶことで“気付く力”を伸ばすブログです。

MENU

やりなおしの数学・微分積分篇(001/X)

以下の書籍を参考に、改めて微分積分を復習していく。

www.rokakuho.co.jp

今日のまとめ

  • 関数y=f(x),\ x\in\mathbb{R}x=x_0において
    \begin{aligned}\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)\end{aligned}
    を満たすとき、関数y=f(x),\ x\in\mathbb{R}x=x_0で連続である。
  • 関数y=f(x)に対し極限
    \begin{aligned}\displaystyle{\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}\end{aligned}
    が存在するとき、この関数[f(x)]はx=x_0において微分可能であるという。
  • 特殊な形の関数ではあらかじめ対数を取った上で微分することで計算が容易になる。関数
    \begin{aligned}f(x)=g(x)^{h(x)}\end{aligned}
    微分
    \begin{aligned}f^{\prime}(x)=f(x)\left(h^{\prime}(x)\log{g(x)}+h(x)\displaystyle{\frac{g^{\prime}(x)}{g(x)}}\right)\end{aligned}

1. 基本的な関数の微分

 関数y=f(x),\ x\in\mathbb{R}を考える。

1.1 連続

 関数y=f(x),\ x\in\mathbb{R}x=x_0において


\begin{aligned}
\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)
\end{aligned}

を満たすとき、関数y=f(x),\ x\in\mathbb{R}x=x_0で連続であるという。連続を直観的に言えばy=f(x)をグラフとして手で書こうと思ったときに、x=x_0の前後で一筆書きで書けることを意味し、それを数学的に表現したものが上記の定義である。また関数y=f(x)がその定義域に属するすべての値において連続である場合、関数y=f(x)は連続であるという。

1.2 微分の定義

 関数y=f(x)に対し極限


\begin{aligned}
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}
\end{aligned}

が存在するとき、この関数[f(x)]はx=x_0において微分可能であるといい、上記極限の値をf^{\prime}(x_0)または\displaystyle{\frac{df}{dx}}(x_0)と書き、関数f(x)x=x_0における微分係数という。またf^{\prime}(x)xの関数と見たとき、これをf(x)導関数という。さらに関数fが定義域すべてで微分可能であるとき、関数f微分可能であるという。
 上記の極限はx=x_0+hとおくと、x\rightarrow x_0のときh\rightarrow0であり


\begin{aligned}
\displaystyle{\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}
\end{aligned}

と書き換えることもできる。

1.2.1 定義による微分の例
  • 関数f(x)=x^nについて


\begin{aligned}
\displaystyle{\frac{df}{dx}}&=\lim_{h\rightarrow 0}\displaystyle{\frac{(x+h)^n-{x}^{n}}{h}}\\
&=\lim_{h\rightarrow 0}\left\{{}_{n}C_{1} x^{n-1} +h\left({}_{n}C_{2} x^{n-2}+\cdots+{}_{n}C_{n}h^{n-1}x^{0}\right)\right\}=n x^{n-1} 
\end{aligned}

  • 関数f(x)=\sin xについて

 加法定理より\sin(x+h)=\sin x\cos h+\cos x\sin hが成り立つ。また極限


\begin{aligned}
\lim_{h\rightarrow 0}\displaystyle{\frac{\sin h}{h}}=1
\end{aligned}

を用いれば


\begin{aligned}
\displaystyle{\frac{df}{dx}}&=\lim_{h\rightarrow 0}\displaystyle{\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}}\\
&=\lim_{h\rightarrow 0}\displaystyle{\frac{\sin x\cos h+\cos x\sin h-\sin x}{h}}\\
&=\lim_{h\rightarrow 0}\displaystyle{\frac{\sin x(\cos h-1)+\cos x\sin h}{h}}\\
&=\lim_{h\rightarrow 0}\displaystyle{\frac{\sin x(\cos h-1)}{h}}+\cos x\cdot\lim_{h\rightarrow 0}\displaystyle{\frac{\sin h}{h}}\\
&=\sin x\cdot\lim_{h\rightarrow 0}\displaystyle{\frac{(\cos h-1)(\cos h+1)}{h^2(\cos h+1)}}h+\cos x\\
&=\sin x\cdot\lim_{h\rightarrow 0}\displaystyle{\frac{\sin^2h}{h^2}}h\left\{-(\cos h+1)\right\}+\cos x\\
&=\cos x
\end{aligned}

  • 関数f(x)=e^xについて


\begin{aligned}
\displaystyle{\frac{df}{dx}}&=\lim_{h\rightarrow 0}\displaystyle{\frac{e^{x+h}-e^x}{h}}\\
&=e^x\lim_{h\rightarrow 0}\displaystyle{\frac{e^{h}-1}{h}}
\end{aligned}

ここでeの定義


\begin{aligned}
e=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n
\end{aligned}

においてn=1/uとおくとn\rightarrow \inftyのときu\rightarrow0であるから


\begin{aligned}
e=\lim_{u\rightarrow0}\left(1+u\right)^{\frac{1}{u}}
\end{aligned}

したがって


\begin{aligned}
1=\lim_{u\rightarrow0}\frac{1}{u}\log{\left(1+u\right)}
\end{aligned}

である。さらにh=\log{\left(1+u\right)}とおけばu=e^h-1h\rightarrow0のときu\rightarrow0であり


\begin{aligned}
1=\lim_{u\rightarrow0}\frac{h}{e^h-1}
\end{aligned}

すなわち


\begin{aligned}
\lim_{u\rightarrow0}\frac{e^h-1}{h}=1
\end{aligned}

である。以上より


\begin{aligned}
\displaystyle{\frac{df}{dx}}&=e^x\lim_{h\rightarrow 0}\displaystyle{\frac{e^{h}-1}{h}}=e^x
\end{aligned}

1.3 微分の性質

 関数f(x),\ g(x)が任意のxにおいて微分可能であるとし、またc\in\mathbb{R}とする。このとき


\begin{aligned}
\displaystyle{\frac{d}{dx}}(f(x)+g(x))=f^{\prime}(x)+g^{\prime}(x)
\end{aligned}


\begin{aligned}
\displaystyle{\frac{d}{dx}}(c\cdot f(x))=c\cdot f^{\prime}(x)
\end{aligned}


\begin{aligned}
\displaystyle{\frac{d}{dx}}(f(x)g(x))=f^{\prime}(x)g(x)+f(x)g^{\prime}(x)
\end{aligned}

 任意のxに対してg(x)\neq0として


\begin{aligned}
\displaystyle{\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)}=\displaystyle{\frac{f^{\prime}(x)g(x)-f(x)g^{\prime}(x)}{\{g(x)\}^2}}
\end{aligned}


\begin{aligned}
\displaystyle{\frac{d}{dx}g(f(x))}=g^{\prime}(f(x))f^{\prime}(x)
\end{aligned}

1.4 対数微分

 任意のxに対して微分可能でg(x)\gt0を満たすf(x),\ g(x)に対し


\begin{aligned}
f(x)=g(x)^{h(x)}
\end{aligned}

を満たすとする。このときf(x)微分を考える。
 両辺の対数を取ると


\begin{aligned}
\log{f(x)}=h(x)\log{g(x)}
\end{aligned}

が成り立つ。この両辺をxについて微分することで


\begin{aligned}
\displaystyle{\frac{1}{f(x)}f^{\prime}(x)}=h^{\prime}(x)\log{g(x)}+h(x)\displaystyle{\frac{g^{\prime}(x)}{g(x)}}
\end{aligned}

したがって


\begin{aligned}
f^{\prime}(x)=f(x)\left(h^{\prime}(x)\log{g(x)}+h(x)\displaystyle{\frac{g^{\prime}(x)}{g(x)}}\right)
\end{aligned}

である。この微分を対数微分という。

1.4.1 対数微分の利用例

 関数f(x)=\displaystyle{\left(1+\frac{1}{x}\right)^x}x\gt0において単調増加であることを示せ。

\because\ \ f(x)導関数x\gt0において正であることを示せばよいが、対数y=\log xが単調増加であることを踏まえればf(x)の対数の微分x\gt0において正であることを示せばよい。


\begin{aligned}
\displaystyle{\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}}&=\log{\left(1+\frac{1}{x}\right)}+x \displaystyle{\frac{-\frac{1}{x^2}}{1+\frac{1}{x}}}\\
&=\log{\left(1+\frac{1}{x}\right)}-\displaystyle{\frac{1}{1+x}}
\end{aligned}

である。
 ここでx\gt0に対しy=1/xとおけばy\gt0であり、これに対し


\begin{aligned}
g(y)=\log{(1+y)}-\displaystyle{\frac{y}{1+y}}
\end{aligned}

を考える。y\gt0において


\begin{aligned}
g^{\prime}(y)&=\displaystyle{\frac{1}{1+y}}-\displaystyle{\frac{1}{(1+y)^2}}\\
&=\left(\displaystyle{\frac{y}{(1+y)^2}}\right)\gt0
\end{aligned}

が成り立つ。g(0)=0であるから、g(y)y\gt0において正かつ単調増加である。これはf^{\prime}(x)x\gt0において正であることを意味する。したがって関数f(x)x\gt0において単調増加である。

プライバシーポリシー お問い合わせ