やりなおしの数学・微分積分篇（01/X） - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　以下の書籍

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を参考に、改めて微分積分を復習していく。

今日のまとめ

関数 $y=f(x),\ x\in\mathbb{R}$ が $x=x_0$ において
$\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)\end{aligned}$
を満たすとき、関数 $y=f(x),\ x\in\mathbb{R}$ が $x=x_0$ で連続である。

関数 $y=f(x)$ に対し極限
$\begin{aligned}\displaystyle{\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}\end{aligned}$
が存在するとき、この関数[f(x)]は $x=x_0$ において微分可能であるという。

特殊な形の関数ではあらかじめ対数を取った上で微分することで計算が容易になる。関数
$\begin{aligned}f(x)=g(x)^{h(x)}\end{aligned}$
の微分は
$\begin{aligned}f^{\prime}(x)=f(x)\left(h^{\prime}(x)\log{g(x)}+h(x)\displaystyle{\frac{g^{\prime}(x)}{g(x)}}\right)\end{aligned}$

今日のまとめ
1.　基本的な関数の微分
次回

1.　基本的な関数の微分

　関数 $y=f(x),\ x\in\mathbb{R}$ を考える。

1.1　連続

　関数 $y=f(x),\ x\in\mathbb{R}$ が $x=x_0$ において

$\begin{aligned} \lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0) \end{aligned}$

を満たすとき、関数 $y=f(x),\ x\in\mathbb{R}$ が $x=x_0$ で連続であるという。連続を直観的に言えば $y=f(x)$ をグラフとして手で書こうと思ったときに、 $x=x_0$ の前後で一筆書きで書けることを意味し、それを数学的に表現したものが上記の定義である。また関数 $y=f(x)$ がその定義域に属するすべての値において連続である場合、関数 $y=f(x)$ は連続であるという。

1.2　微分の定義

　関数 $y=f(x)$ に対し極限

$\begin{aligned} \displaystyle{\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}} \end{aligned}$

が存在するとき、この関数[f(x)]は $x=x_0$ において微分可能であるといい、上記極限の値を $f^{\prime}(x_0)$ または $\displaystyle{\frac{df}{dx}}(x_0)$ と書き、関数 $f(x)$ の $x=x_0$ における微分係数という。また $f^{\prime}(x)$ を $x$ の関数と見たとき、これを $f(x)$ の導関数という。さらに関数 $f$ が定義域すべてで微分可能であるとき、関数 $f$ が微分可能であるという。
　上記の極限は $x=x_0+h$ とおくと、 $x\rightarrow x_0$ のとき $h\rightarrow0$ であり

$\begin{aligned} \displaystyle{\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}} \end{aligned}$

と書き換えることもできる。

1.2.1　定義による微分の例

関数 $f(x)=x^n$ について

$\begin{aligned} \displaystyle{\frac{df}{dx}}&=\lim_{h\rightarrow 0}\displaystyle{\frac{(x+h)^n-{x}^{n}}{h}}\\ &=\lim_{h\rightarrow 0}\left\{{}_{n}C_{1} x^{n-1} +h\left({}_{n}C_{2} x^{n-2}+\cdots+{}_{n}C_{n}h^{n-1}x^{0}\right)\right\}=n x^{n-1} \end{aligned}$

関数 $f(x)=\sin x$ について

　加法定理より $\sin(x+h)=\sin x\cos h+\cos x\sin h$ が成り立つ。また極限

$\begin{aligned} \lim_{h\rightarrow 0}\displaystyle{\frac{\sin h}{h}}=1 \end{aligned}$

を用いれば

$\begin{aligned} \displaystyle{\frac{df}{dx}}&=\lim_{h\rightarrow 0}\displaystyle{\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}}\\ &=\lim_{h\rightarrow 0}\displaystyle{\frac{\sin x\cos h+\cos x\sin h-\sin x}{h}}\\ &=\lim_{h\rightarrow 0}\displaystyle{\frac{\sin x(\cos h-1)+\cos x\sin h}{h}}\\ &=\lim_{h\rightarrow 0}\displaystyle{\frac{\sin x(\cos h-1)}{h}}+\cos x\cdot\lim_{h\rightarrow 0}\displaystyle{\frac{\sin h}{h}}\\ &=\sin x\cdot\lim_{h\rightarrow 0}\displaystyle{\frac{(\cos h-1)(\cos h+1)}{h^2(\cos h+1)}}h+\cos x\\ &=\sin x\cdot\lim_{h\rightarrow 0}\displaystyle{\frac{\sin^2h}{h^2}}h\left\{-(\cos h+1)\right\}+\cos x\\ &=\cos x \end{aligned}$

関数 $f(x)=e^x$ について

$\begin{aligned} \displaystyle{\frac{df}{dx}}&=\lim_{h\rightarrow 0}\displaystyle{\frac{e^{x+h}-e^x}{h}}\\ &=e^x\lim_{h\rightarrow 0}\displaystyle{\frac{e^{h}-1}{h}} \end{aligned}$

ここで $e$ の定義

$\begin{aligned} e=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \end{aligned}$

において $n=1/u$ とおくと $n\rightarrow \infty$ のとき $u\rightarrow0$ であるから

$\begin{aligned} e=\lim_{u\rightarrow0}\left(1+u\right)^{\frac{1}{u}} \end{aligned}$

したがって

$\begin{aligned} 1=\lim_{u\rightarrow0}\frac{1}{u}\log{\left(1+u\right)} \end{aligned}$

である。さらに $h=\log{\left(1+u\right)}$ とおけば $u=e^h-1$ 、 $h\rightarrow0$ のとき $u\rightarrow0$ であり

$\begin{aligned} 1=\lim_{u\rightarrow0}\frac{h}{e^h-1} \end{aligned}$

すなわち

$\begin{aligned} \lim_{u\rightarrow0}\frac{e^h-1}{h}=1 \end{aligned}$

である。以上より

$\begin{aligned} \displaystyle{\frac{df}{dx}}&=e^x\lim_{h\rightarrow 0}\displaystyle{\frac{e^{h}-1}{h}}=e^x \end{aligned}$

1.3　微分の性質

　関数 $f(x),\ g(x)$ が任意の $x$ において微分可能であるとし、また $c\in\mathbb{R}$ とする。このとき

和の微分

$\begin{aligned} \displaystyle{\frac{d}{dx}}(f(x)+g(x))=f^{\prime}(x)+g^{\prime}(x) \end{aligned}$

スカラー倍の微分

$\begin{aligned} \displaystyle{\frac{d}{dx}}(c\cdot f(x))=c\cdot f^{\prime}(x) \end{aligned}$

積の微分

$\begin{aligned} \displaystyle{\frac{d}{dx}}(f(x)g(x))=f^{\prime}(x)g(x)+f(x)g^{\prime}(x) \end{aligned}$

商の微分

　任意の $x$ に対して $g(x)\neq0$ として

$\begin{aligned} \displaystyle{\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)}=\displaystyle{\frac{f^{\prime}(x)g(x)-f(x)g^{\prime}(x)}{\{g(x)\}^2}} \end{aligned}$

合成関数の微分

$\begin{aligned} \displaystyle{\frac{d}{dx}g(f(x))}=g^{\prime}(f(x))f^{\prime}(x) \end{aligned}$

1.4　対数微分

　任意の $x$ に対して微分可能で $g(x)\gt0$ を満たす $f(x),\ g(x)$ に対し

$\begin{aligned} f(x)=g(x)^{h(x)} \end{aligned}$

を満たすとする。このとき $f(x)$ の微分を考える。
　両辺の対数を取ると

$\begin{aligned} \log{f(x)}=h(x)\log{g(x)} \end{aligned}$

が成り立つ。この両辺を $x$ について微分することで

$\begin{aligned} \displaystyle{\frac{1}{f(x)}f^{\prime}(x)}=h^{\prime}(x)\log{g(x)}+h(x)\displaystyle{\frac{g^{\prime}(x)}{g(x)}} \end{aligned}$

したがって

$\begin{aligned} f^{\prime}(x)=f(x)\left(h^{\prime}(x)\log{g(x)}+h(x)\displaystyle{\frac{g^{\prime}(x)}{g(x)}}\right) \end{aligned}$

である。この微分を対数微分という。

1.4.1　対数微分の利用例

　関数 $f(x)=\displaystyle{\left(1+\frac{1}{x}\right)^x}$ が $x\gt0$ において単調増加であることを示せ。

$\because\ \ f(x)$ の導関数が $x\gt0$ において正であることを示せばよいが、対数 $y=\log x$ が単調増加であることを踏まえれば $f(x)$ の対数の微分が $x\gt0$ において正であることを示せばよい。

$\begin{aligned} \displaystyle{\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}}&=\log{\left(1+\frac{1}{x}\right)}+x \displaystyle{\frac{-\frac{1}{x^2}}{1+\frac{1}{x}}}\\ &=\log{\left(1+\frac{1}{x}\right)}-\displaystyle{\frac{1}{1+x}} \end{aligned}$

である。
　ここで $x\gt0$ に対し $y=1/x$ とおけば $y\gt0$ であり、これに対し

$\begin{aligned} g(y)=\log{(1+y)}-\displaystyle{\frac{y}{1+y}} \end{aligned}$

を考える。 $y\gt0$ において

$\begin{aligned} g^{\prime}(y)&=\displaystyle{\frac{1}{1+y}}-\displaystyle{\frac{1}{(1+y)^2}}\\ &=\left(\displaystyle{\frac{y}{(1+y)^2}}\right)\gt0 \end{aligned}$