ファイナンス練習(2021年09月08日) - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　業務でC#を用いることになったので、最近勉強していなくて朧気になってきた知識をReviseする意味でも、以下の書籍を読みながらC#で実装してみる。統計学については別書で触れたいため大幅にカットします。今回はP.170-174まで（当分は実装なしが続きます）。

EXCEL&VBAで学ぶファイナンスの数理

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6. 確率過程の基礎
- 6.2 確率微分方程式
  - 6.2.1 バシチェック・モデル
  - 6.2.2 CIRモデル

6. 確率過程の基礎

6.2 確率微分方程式

　前回導出した確率差分方程式を微小にすることで

$\begin{aligned} dX(t)=\mu dt+\sigma dz(t) \end{aligned}$

を得る。
　独立な正規分布の和は正規分布に従うことに注意すれば、

$\begin{aligned} X(dt)-X(0)&=\mu dt+\sigma(z(dt)-z(0))\\ X(2dt)-X(dt)&=\mu dt+\sigma(z(2dt)-z(dt))\\ \cdots\\ X(ndt)-X( (n-1)dt)&=\mu dt+\sigma(z(ndt)-z( (n-1)dt)) \end{aligned}$

について、 $X( (k+1)dt)-X(kdt)\sim N(\mu dt,\sigma^2dt)$ に従うから、

$\begin{aligned} \sum_{k=0}^{N-1}[X( (k+1)dt)-X(k dt)]=X(N dt)-X(0) \sim N(\mu Ndt, \sigma^2Ndt) \end{aligned}$

ただし、一般にはドリフトおよび拡散係数は $\mu=\mu(x,t), \sigma=\sigma(x,t)$ と定数ではなく、その場合には上記は成り立つとは限らない。
　　確率微分方程式

$\begin{aligned} dX(t)=\mu(X(t),t) dt+\sigma(X(t),t) dz(t) \end{aligned}$

が所与であり、その差分方程式として

$\begin{aligned} \Delta X(t)=\mu(X(t),t) \Delta t+\sigma(X(t),t) \Delta z(t) \end{aligned}$

が存在している（上記差分方程式の極限は最初に掲げた確率微分方程式である）とする。
　 $\Delta t=T/N$ とおき、 $X_n=X(n\Delta t)$ とすれば、この差分方程式は

$\begin{aligned} X_{n+1}=X_n+\mu(X_n,n\Delta t) \Delta t+\sigma(X_n,n\Delta t) \Delta z(t) \end{aligned}$

と書ける。乱数 $\Delta z(t)\sim N(0,\Delta t)$ を生成することで、 $X_n$ のサンプルパスを描くことが出来る。

　いくつか具体的なモデルを考えてみよう。

6.2.1 バシチェック・モデル

　 $X(t)=r(t)$ とし $\mu(X(t),t)=a(m-r(t)), a,m\gt0,$ $\sigma(X(t),t)=\sigma\in\mathbb{R},\sigma\gt0$ とおく。すなわち確率微分方程式

$\begin{aligned} dr(t)=a(m-r(t))dt+\sigma dz(t) \end{aligned}$

を考える。これは短期金利について、平均回帰性をドリフト項で表現しまた簡単化のために拡散係数（ボラティリティ）が定数であるようなモデル化を施したものである。これをVasicekモデルという。
　これに対応した差分方程式は

$\begin{aligned} r_{n+1}=r_n+a(m-r_n)\Delta t+\sigma \Delta z(t) \end{aligned}$

である。

図1　Vasicekモデルのサンプルパス
( $r_0=0.1,m=0.05,a=0.01,\sigma=0.1,T=250$ )
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6.2.2 CIRモデル

　 $X(t)=r(t)$ とし $\mu(X(t),t)=a(m-r(t)), a,m\gt0,$ $\sigma(X(t),t)=\sigma\in\mathbb{R},\sigma\gt0$ とおく。すなわち確率微分方程式

$\begin{aligned} dr(t)=a(m-r(t))dt+\sqrt{r(t)}dz(t) \end{aligned}$

を考える。Vasicekモデルの拡散係数を $\sqrt{r(t)}$ に変更したもので、これはCIRモデルという。 $r(t)$ は、 $0$ に近づくと拡散係数 $\sigma\sqrt{r(t)}$ も $0$ に近づく一方で瞬間的な変異の平均値は正なので、ほぼ確実に $r(t)$ は増加方向に向かうため、 $r(t)$ は正になる。
　これに対応した差分方程式は