ファイナンス練習(2021年09月03日) - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　業務でC#を用いることになったので、最近勉強していなくて朧気になってきた知識をReviseする意味でも、以下の書籍を読みながらC#で実装してみる。今日はP.62-78まで（当分は実装なしが続きます）。

4. 多変量確率変数とポートフォリオ理論

4. 多変量確率変数とポートフォリオ理論

4.5 2変量正規分布

　確率ベクトル $(X,Y)$ の同時密度関数が

$\begin{aligned} f_{{(X,Y)}}(x,y)&=\displaystyle{\frac{1}{2\pi\sigma_{X}\sigma_{Y}\sqrt{1-{\rho_{XY}}^2}}\exp(-\frac{1}{2}\frac{1}{1-{\rho_{XY}}^2}Q),}\\ Q&=\frac{(x-\mu_X)^2}{{\sigma_X}^2}-2\rho_{XY}\frac{(x-\mu_X)(y-\mu_Y)}{\sigma_{X}\sigma_{Y}}+\frac{(y-\mu_{Y})^2}{{\sigma_{Y}}^2} \end{aligned}$

と与えられるとき、 $(X,Y)$ は2変量正規分布に従うといい、

$\begin{aligned} (X,Y)\sim N_{2}(\mu_{X},\mu_{Y},{\sigma_{X}}^2,{\sigma_{Y}}^2,\rho_{XY}) \end{aligned}$

と書く。ただし、 $\sigma_{X}, \sigma_{Y}\gt0, |\rho_{XY}|\lt1$ とする。
　これに

$\begin{aligned} X^{\prime}=\frac{X-\mu_{X}}{\sigma_{X}}, Y^{\prime}=\frac{Y-\mu_{Y}}{\sigma_{Y}} \end{aligned}$

と変数変換した $(X^{\prime}, Y^{\prime})$ の密度関数

$\begin{aligned} f_{{(X^{\prime}, Y^{\prime})}}(x,y)&=\displaystyle{\frac{1}{2\pi\sqrt{1-{\rho_{XY}}^2}}\exp\{-\frac{x^2-2\rho_{XY}xy+y^2}{2(1-{\rho_{XY}}^2)}\}}\\ \end{aligned}$

が2変量標準正規分布の密度関数である。

4.6 正規分布の有用性

　正規分布を金融工学で用いる有用性は大きく分けて2つある：

すべての確率的性質が平均 $\mu$ および分散 $\sigma^2$ に集約される
$X_{i}\sim N(\mu_{i},{\sigma_i}^2), i=1,\cdots,n$ に対し $r=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}c_{i}X_{i}}$ も正規分布に従う

4.7 ポートフォリオの最適化

4.7.1 収益率

　資産価格の変化率 $r_{0,t}$ を

$\begin{aligned} r_{0,t}=\displaystyle{\frac{S(t)-S(0)}{S(0)}} \end{aligned}$

で定義し収益率と呼ぶ。
　ただし株式に焦点を当てており、配当を考慮するタイミング $t=t$ における収益率については、
$S(t)$ を配当落ち後の価格、 $d_t$ をこの時点での1株当たり配当金*1として

$\begin{aligned} r_{0,t,C}=\displaystyle{\frac{S(t)-S(0)+d_{t}}{S(0)}} \end{aligned}$

で定義する。また

$\begin{aligned} r_{0,t,C}=\displaystyle{\log{\frac{S(t)}{S(0)}}} \end{aligned}$

で定義する収益率 $r_{0,t,C}$ を対数収益率という。これは

$\begin{aligned} S(t)=S(0)\exp({r_{0,t,C}}) \end{aligned}$

と連続複利による運用に対応した定義である。また $S(t)/S(0)$ が1に充分に近ければ、

$\begin{aligned} \log{(1+x)}=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\cdots \end{aligned}$

と対数関数のMcLaurin展開から

$\begin{aligned} \displaystyle{\log{\frac{S(t)}{S(0)}}}&=\frac{S(t)}{S(0)}-1-\frac{(\frac{S(t)}{S(0)}-1)^2}{2}+\frac{(\frac{S(t)}{S(0)}-1)^3}{3}+\cdots\\ &\approx \frac{S(t)}{S(0)}-1\\ &=\frac{S(t)-S(0)}{S(0)} \end{aligned}$

と通常の収益率に近似できることから、その利用を正当化できる。以後、収益率をリターンと呼ぶ。
　リターンを用いるのは線型性があるために便利である。複数の金融商品 $i=1,\cdots,n$ があり、時点 $t=t$ におけるそれらの価値を $S_{i}(t),i=1,\cdots,n$ 、またそれらのリターンを

$\begin{aligned} r_{i}(t)&=\displaystyle{\frac{S(t)-S(t-1)}{S(t-1)}} または\\ r_{i}(t)&=\displaystyle{\log{\frac{S(t)}{S(t-1)}}} \end{aligned}$

とする。これらの商品の保有数を $k_{i}(t),i=1,\cdots,n$ とする。こういった複数の商品を1まとめにしたものをポートフォリオという。
　上述したポートフォリオ $P$ の価値 $W_{P}(t)$ は

$\begin{aligned} W_{P}(t)=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}k_i(t)S_{i}(t)} \end{aligned}$

で与えられる。
　ここでポートフォリオのリターン $r_{P}(t)$ を考えよう。直接的には

$\begin{aligned} r_{P}(t)&=\displaystyle{\frac{W_{P}(t)-W_{P}(t-1)}{W_{P}(t-1)}}　または\\ r_{P}(t)&=\displaystyle{\log\frac{W_{P}(t)}{W_{P}(t-1)}} \end{aligned}$

と計算できる。これを分解してみる（ただし、 $k_{i}(t)=k_{i}(t-1)$ 、すなわちポートフォリオの組換は無いものとする）：

$\begin{aligned} r_{P}(t)&=\displaystyle{\frac{W_{P}(t)-W_{P}(t-1)}{W_{P}(t-1)}}\\ &=\displaystyle{\frac{\sum_{i=1}^{n}k_i(t)S_{i}(t)-\sum_{i=1}^{n}k_i(t-1)S_{i}(t-1)}{\sum_{i=1}^{n}k_i(t-1)S_{i}(t-1)}}\\ &=\displaystyle{\frac{1}{\sum_{i=1}^{n}k_i(t-1)S_{i}(t-1)}\sum_{i=1}^{n}S_{i}(t-1)\{k_i(t)\frac{S_{i}(t)}{S_{i}(t-1)}-k_i(t-1)\}}\\ &=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\frac{S_{i}(t-1)k_i(t-1)}{\sum_{i=1}^{n}k_i(t-1)S_{i}(t-1)}\{\frac{S_{i}(t)}{S_{i}(t-1)}-1\}}\\ &=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\omega_{i,t-1}\{\frac{S_{i}(t)}{S_{i}(t-1)}-1\}},\ \ \omega_{i,t-1}=\frac{S_{i}(t-1)k_i(t-1)}{\sum_{i=1}^{n}k_i(t-1)S_{i}(t-1)}\\ &=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\omega_{i,t-1}r_{i}(t)} \end{aligned}$