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ファイナンス練習(2021年09月01日)

 業務でC#を用いることになったので、最近勉強していなくて朧気になってきた知識をReviseする意味でも、以下の書籍を読みながらC#で実装してみる。昨日は別件を優先してやらず。今日はP.55-58まで(ただしモーメントの話は特に重要性を感じないため、省略)。

3. 確率論の基礎

3.10 VaR

 確率分布を活用したリスク尺度として、VaRがある。T日後の価値変化率が確率変数X\sim F_{X}で与えられるようなポートフォリオに対して、0\lt p \lt 1が与えられたときにバリュー・アット・リスクVaR_{p}(X)


\begin{aligned}
VaR_{p}(X) &= -\inf\{x\in \mathbb{R};F_{X}(x)\gt p\}={F_{X}}^{(-1)}(1-p)
\end{aligned}

で定義する。ここである分布関数Fに対して擬逆関数(quasi-invese distribution function/ generalised inverse distribution function)F^{(-1)}(p) を以下で定義する:


\begin{aligned}
F^{(-1)}(p) := \inf\{x\in \mathbb{R};F(x)\geq p \}
\end{aligned}

これはいわゆる逆関数F^{-1}(x)を、分布関数のようにcàdlàg(Continue à droite, limite à gauche:右連続左極限)な関数でも全定義域において定義できるように拡張したものである。
 VaRリスク管理の現場でよく使われてきた*1リスク管理に用いるためにp=0.01, 0.01などの端点を用いることが多く数値的に計算するとなると誤差が大きくなりがちであるなど課題が多いものの、分布を特定する(もしくは仮定する)ことができれば、特に正規分布を選べば、解析的に計算することができる。
 たとえば、m日後の損益率がX_{m}\sim N(\mu,\sigma^2)であるようなポートフォリオについて、m日後の100(1-p)\% VaRであるVaR_{p}(X_m)\Phi(x)を標準正規分布の分布関数とすれば


\begin{aligned}
P\{X_m\leq VaR_{p}(X_m)\}&=p\\
\Leftrightarrow \displaystyle{P\{\frac{X_{m}-\mu}{\sigma}\leq \frac{VaR_{p}(X_m)-\mu}{\sigma}\}}&=p\\
\Leftrightarrow \Phi(\displaystyle{\frac{VaR_{p}(X_m)-\mu}{\sigma}})&=p\\
\Leftrightarrow \displaystyle{\frac{VaR_{p}(X_m)-\mu}{\sigma}}&=\Phi^{-1}(p)\\
\Leftrightarrow VaR_{p}(X_m)&=\mu + \sigma\Phi^{-1}(p)
\end{aligned}

と計算できる。

*1:VaRには限界があることが知られており、期待ショートフォール(またはCVaR(Conditional VaR:条件付きVaR)と呼ぶ)などの別指標を用いる方が普通である。

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