前回はAR過程を導入した。
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引き続き、以下の書籍を基に学んだことを整理していく。

経済・ファイナンスデータの計量時系列分析 (統計ライブラリー)
- 作者:竜義, 沖本
- 発売日: 2010/02/01
- メディア: 単行本
4.ARMA過程(3)
ARMA過程
ARMA過程は自己回帰項と移動平均項を両方含むような過程である。次
過程は
ホワイトノイズの期待値が0であることに注意すると
AR過程の定常性:反転可能性
AR過程の定常性についてはAR特性方程式が安定的であることが必要だとすでに述べたが、それがARMA過程にそのまま援用できる。他方でAR過程が定常であることはそのAR過程がMA過程に書き直すことができることと同値であることが知られている。
たとえば1次AR過程を考える。逐次的に代入していくことで
MA過程の選択に当たっても「反転可能性」に注目することとなる。すなわちMA過程がAR(
さて以上を踏まえると、ARMA過程についても定常性を判定する手段を考えることができる。MA過程はつねに定常である。定常過程の和は定常過程になる*1から、ARMA過程はAR過程部分のAR特性方程式を考えればよいことになる。
まとめ
以上、ARMA過程を導入し、その定常性について考えた。そこでのポイントはARMA過程がAR過程とMA過程の和で表現されるためにそれぞれの特徴を有する点であった。次回は、このように導入したARMA過程について母数を推定する方法について述べる。
*1:実際、それぞれ期待値と自己共分散をもち、互いに独立な2つの弱定常な過程
があるとき、それらの和からなる過程
は
であり、
となるから、過程は期待値が時点
に依存せず自己共分散はラグ
にのみ依存する、すなわち弱定常である。ホワイトノイズはその定義から任意の他の過程と相関がない。