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　以下の書籍

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を参考に、改めて微分積分を復習していく。

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今日のまとめ

微分を応用した関数の性質に触れる。

区間 $I=[a,b]$ で定義された関数 $f(x)$ が
$\begin{aligned}f(\alpha x_1+(1-\alpha)x_2)\leq \alpha f(x_1)+(1-\alpha)f(x_2)\end{aligned}$
を満たすとき、 $f(x)$ は区間 $I$ における凸関数である（もしくは $f(x)$ は下に凸である）という。

不定形の極限は分母分子などの各因子を微分したものの極限と値が等しい。

近傍 $B(x_0;\delta)=(x_0-\delta,x_0+\delta)$ において ${}^{\forall}x\in B(x_0;\delta)$ が
$\begin{aligned}f(x)\leq f(x_0)\ (f(x)\geq f(x_0))\end{aligned}$
を満たすとき、 $f(x)$ は $x=x_0$ において極大（または極小）であるといい、 $f(x_0)$ を極大値（または極小値）という。

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今日のまとめ
5.　1変数関数の微分
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5.　1変数関数の微分

5.5　凸関数

定義：凸関数　区間 $I=[a,b]$ で定義された関数 $f(x)$ が

$\begin{aligned} f(\alpha x_1+(1-\alpha)x_2)\leq \alpha f(x_1)+(1-\alpha)f(x_2) \end{aligned}$

を満たすとき、 $f(x)$ は区間 $I$ における凸関数である（もしくは $f(x)$ は下に凸である）という。等号無しの不等式が成り立つとき、 $f(x)$ は $I$ における狭義の凸関数と呼ばれる。

　 $I$ において $-f(x)$ が凸関数のとき、 $f(x)$ は $I$ における凹関数（もしくは $f(x)$ は上に凸である）という。

定理：凸関数の性質　関数 $f(x)$ は区間 $I=[a,b]$ において凸関数であるとする。このとき $x_1,x_2,x_3\in I,\ x_1\lt x_2\lt x_3$ として

$\begin{aligned} \displaystyle{\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}}\leq \displaystyle{\frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}} \end{aligned}$

が成り立つ。

( $\because$ 　 $f(x)$ を凸関数とする。 ${}^{\forall}x_1,x_2,x_3\in I,\ x_1\lt x_2\lt x_3$ に対して

$\begin{aligned} \alpha=\displaystyle{\frac{x_3-x_2}{x_3-x_1}} \end{aligned}$

とおく。このとき $0\lt\alpha\lt1$ で

$\begin{aligned} x_2=\alpha x_1+(1-\alpha)x_3 \end{aligned}$

となる。仮定より

$\begin{aligned} f(x_2)=f(\alpha x_1+(1-\alpha)x_3)\leq\alpha f(x_1)+(1-\alpha)f(x_3)=\displaystyle{\frac{x_3-x_2}{x_3-x_1}}f(x_1)+\displaystyle{\frac{x_2-x_1}{x_3-x_1}}f(x_3) \end{aligned}$

が成り立つ。ここから

$\begin{aligned} \displaystyle{\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}}\leq \displaystyle{\frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}} \end{aligned}$

を得る。
　逆に ${}^{\forall}x_1,x_2,x_3\in\mathbb{R},\ s.t.\ x_1\lt x_2\lt x_3$ について

$\begin{aligned} \displaystyle{\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}}\leq \displaystyle{\frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}} \end{aligned}$

が成り立つと仮定する。いま ${}^{\forall}x_1,x_2\in I$ および $0\lt\alpha\lt1$ に対し $x=\alpha x_1+(1-\alpha)x_2$ は $x_1\lt x\lt x_2$ を満たすから、仮定より

$\begin{aligned} \displaystyle{\frac{f(x)-f(x_1)}{x-x_1}}\leq \displaystyle{\frac{f(x_2)-f(x)}{x_2-x}} \end{aligned}$

が成り立つ。これにより

$\begin{aligned} f(x)\leq \displaystyle{\frac{x_2-x}{x_2-x_1}}f(x_1)+\displaystyle{\frac{x-x_1}{x_2-x_1}}f(x_2)=\alpha f(x_1)+(1-\alpha)f(x_2) \end{aligned}$

が成り立ち、これは $f(x)$ が凸関数であることに他ならない。　 $\blacksquare$ )

　 $f(x)$ が2回微分可能な場合に関数の凹凸を判定できることを示す。

凸性と2回微分　 $f(x)$ は $[a,b]$ で連続で $(a,b)$ で2回微分可能だとする。このとき $f(x)$ が区間 $I$ で凸関数であることの必要十分条件は ${}^{\forall}x\in (a,b)$ について $f^{\prime\prime}(x)\geq0$ である。

( $\because$ 　 $f(x)$ は $I$ において凸関数だとする。 ${}^{\forall}x_1,x_2\in I\ s.t.\ a\lt x_1\lt x_2\lt b$ に対して $x_1\lt x\lt x_2$ に対して

$\begin{aligned} \displaystyle{\frac{f(x)-f(x_1)}{x-x_1}}\lt\displaystyle{\frac{f(x_2)-f(x)}{x_2-x}} \end{aligned}$

である。 $x\rightarrow x_1$ とすることで

$\begin{aligned} f^{\prime}(x_1)\lt\displaystyle{\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}} \end{aligned}$

を得る。同様に $x \rightarrow x_2$ とすることで

$\begin{aligned} \displaystyle{\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}}\lt f^{\prime}(x_2) \end{aligned}$

を得る。したがって $f^{\prime}(x_1)\leq f^{\prime}(x_2)$ である。以上から $f^{\prime}(x)$ は $(a,b)$ で単調増加である。したがって $(a,b)$ 上で $f^{\prime\prime}(x)\geq0$ である。
　逆に $(a,b)$ 上で $f^{\prime\prime}(x)\geq0$ とする。このとき $f^{\prime}(x)$ は $(a,b)$ 上で単調増加である。 ${}^{\forall}x_1,x_2,x_3\in I,\ s.t.\ x_1\lt x_2\lt x_3$ に対して平均値の定理より

$\begin{aligned} f(x_2)-f(x_1)&=(x_2-x_1)f^{\prime}(x_1+\theta_(x_2-x_1)),\\ f(x_3)-f(x_2)&=(x_3-x_2)f^{\prime}(x_2+\theta_(x_3-x_2)),0\lt\theta_1,\theta_2\lt1 \end{aligned}$

が成り立つ。 $a\lt x_1+\theta_1(x_2-x_1)\lt x_2+\theta_2(x_3-x_2)\lt b$ であるから $f^{\prime}(x)$ の単調性から

$\begin{aligned} \displaystyle{\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}}=f^{\prime}(x_1+\theta_1(x_2-x_1))\lt f^{\prime}(x_2+\theta_2(x_3-x_2))=\displaystyle{\frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}} \end{aligned}$

が得られる。これは $f(x)$ が凸関数であることに等しい。　 $\blacksquare$ )

5.6　不定形の極限

　 $x\rightarrow x_0$ のとき $f(x)\rightarrow0,g(x)\rightarrow0$ とする。このとき極限 $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}}$ を $\displaystyle{\frac{0}{0}}$ 形の不定形の極限という。同様に $x\rightarrow x_0$ のとき $f(x)\rightarrow\infty,g(x)\rightarrow\infty$ とする。このとき極限 $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}}$ を $\displaystyle{\frac{\infty}{\infty}}$ 形の不定形の極限という。さらに $x\rightarrow x_0$ のとき $f(x)\rightarrow0,g(x)\rightarrow\infty$ のとき極限 $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)g(x)}$ は $0$ - $\infty$ 形の不定形と呼ぶ。
　これらを求める際に有用な定理を紹介する。

de L'Hopitalの定理(i) $x_0\in\mathbb{R}$ の近傍 $B(x_0;\varepsilon)$ に定義されている関数 $f(x),g(x)$ に対して $x\rightarrow x_0$ のとき $f(x)\rightarrow 0,g(x)\rightarrow 0$ とする。さらに $f(x),g(x)$ は $x_0$ 以外の各点で微分可能かつ $g(x_0)\neq 0$ とする。このとき

$\begin{aligned} \displaystyle{\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}}=l\in\mathbb{R\cup\{-\infty,\infty\}} \end{aligned}$

が存在するならば

$\begin{aligned} \displaystyle{\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}}=l\in\mathbb{R\cup\{-\infty,\infty\}} \end{aligned}$

である。

(ii) $f(x),g(x)$ は充分に大きな $x\in\mathbb{R}$ において定義されており、 $x\rightarrow\infty$ のとき $f(x)\rightarrow0,g(x)\rightarrow0$ となる。さらに充分に大きな $x\in\mathbb{R}$ において $g^{\prime}(x)\neq0$ とする。このとき

$\begin{aligned} \displaystyle{\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}}=l\in\mathbb{R\cup\{-\infty,\infty\}} \end{aligned}$

が存在するならば

$\begin{aligned} \displaystyle{\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}}=l \end{aligned}$

である。

(iii) $f(x),g(x)$ は $x\in\mathbb{R},\ s.t.\ x_0\lt x\lt c$ で定義されており、 $x\rightarrow x_0+0$ のとき $f(x)\rightarrow\infty,g(x)\rightarrow\infty$ とする。さらに $x\in\mathbb{R},\ s.t.\ x_0\lt x\lt c$ において $f(x),g(x)$ は微分可能で $g^{\prime}(x)\neq0$ とする。このとき

$\begin{aligned} \displaystyle{\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}}=l\in\mathbb{R\cup\{\infty\}} \end{aligned}$

ならば

$\begin{aligned} \displaystyle{\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}}=l \end{aligned}$

である。

(iv) $x\rightarrow\infty$ のとき $f(x)\rightarrow\infty,g(x)\rightarrow\infty$ とする。このとき

$\begin{aligned} \displaystyle{\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}}=l\in\mathbb{R\cup\{\infty\}} \end{aligned}$

が存在するならば

$\begin{aligned} \displaystyle{\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}}=l \end{aligned}$

である。

( $\because$ (i)必要ならば $f(x_0)=g(x_0)=0$ と定めることで $f(x),g(x)$ は区間 $[\min\{x_0,x\},\max\{x_0,x\}]$ においてCauchyの平均値の定理の適用条件を満たすから

$\begin{aligned} {}^{\exists}\tau\in[\min\{x_0,x\},\max\{x_0,x\}]\ s.t.\ \displaystyle{\frac{f(x)-f(x_0)}{g(x)-g(x_0)}}=\displaystyle{\frac{f^{\prime}(\tau)}{g^{\prime}(\tau)}} \end{aligned}$

が成り立つ。 $x\rightarrow x_0$ において $\tau\rightarrow x_0$ であるから

$\begin{aligned} \displaystyle{\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}}&=\displaystyle{\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{g(x)-g(x_0)}}\\ &=\displaystyle{\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f^{\prime}(\tau)}{g^{\prime}(\tau)}}\\ &=\displaystyle{\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}}\\ &=l \end{aligned}$

が成り立つ。

(ii) $\displaystyle{\frac{1}{x}}=y$ とおくと、 $x\rightarrow\infty$ のとき $y\rightarrow+0$ である。 $F(y)=f\left(\displaystyle{\frac{1}{y}}\right),\ G(y)=g\left(\displaystyle{\frac{1}{y}}\right),y\gt0$ と定義すると $F,G$ は適当な $\delta\gt0$ に対して区間 $[0,\delta]$ 上で定義され、 $\displaystyle{\lim_{y\rightarrow+0}F(y)}=0,\displaystyle{\lim_{y\rightarrow+0}G(y)}=0$ を満たす。
　さらに $F(y),G(y)$ は $(0,\delta)$ において微分可能で

$\begin{aligned} \displaystyle{\lim_{y\rightarrow +0}\frac{F^{\prime}(y)}{G^{\prime}(y)}}=\displaystyle{\lim_{y\rightarrow+0}\frac{f^{\prime}\left(\displaystyle{\frac{1}{y}}\right)}{g\left(\displaystyle{\frac{1}{y}}\right)}}=\displaystyle{\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}}=l \end{aligned}$

が成り立つ。したがって(i)より

$\begin{aligned} \displaystyle{\lim_{y\rightarrow+0}\frac{F(y)}{G(y)}}=l \end{aligned}$

である。したがって

$\begin{aligned} \displaystyle{\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{f(x)}{g(x)}}=\displaystyle{\lim_{y\rightarrow+0}\frac{F(y)}{G(y)}}=l \end{aligned}$

が得られる。

(iii)　 $l\in[0,\infty)$ とする。 $0\lt\varepsilon\lt\displaystyle{\frac{1}{2}}$ を任意に取る。仮定より $x_0\lt x_1\lt c$ を取ると、 $x_0\lt{}^{\forall}x\lt x_1$ に対して

$\begin{aligned} l-\varepsilon\lt\displaystyle{\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}}\lt l+\varepsilon \end{aligned}$

が成り立つ。Cauchyの平均値の定理から $x_0\lt x\lt x_1$ のとき

$\begin{aligned} {}^{\exists}\tau\in(x,x_1)\displaystyle{\frac{f(x)-f(x_1)}{g(x)-g(x_1)}}=\displaystyle{\frac{f^{\prime}(\tau)}{g^{\prime}(\tau)}} \end{aligned}$

が成り立つ。したがって

$\begin{aligned} l-\varepsilon\lt\displaystyle{\frac{f(x)-f(x_1)}{g(x)-g(x_1)}}\lt l+\varepsilon \end{aligned}$

となり、仮定から $x\rightarrow x_0+0$ のとき $f(x)\rightarrow\infty,g(x)\rightarrow\infty$ であるから、 $x_0\lt x_2\lt c$ を選ぶと、 $x_0\lt{}^{\forall}x\lt x_2$ に対して $f(x)\gt0,g(x)\gt0$ で

$\begin{aligned} 0\lt\displaystyle{\frac{f(x_1)}{f(x)}}\lt\varepsilon,\ 0\lt\displaystyle{\frac{g(x_1)}{g(x)}}\lt\varepsilon \end{aligned}$

が成立する。したがって ${}^{\forall}x\in(x_0,x_2)$ に対して

$\begin{aligned} 1-\varepsilon\lt\displaystyle{\frac{1-\displaystyle{\frac{f(x_1)}{f(x)}}}{1-\displaystyle{\frac{g(x_1)}{g(x)}}}}\lt \displaystyle{\frac{1}{1-\varepsilon}} \end{aligned}$

が成り立つ。 $x_3=\min\{x_1,x_2\}$ とおけば、 $x\in(x_0,x_3)$ を満たすとき、上不等式および

$\begin{aligned} l-\varepsilon\lt \displaystyle{\frac{f(x)-f(x_1)}{g(x)-g(x_1)}}=\displaystyle{\frac{f(x)}{g(x)}}\cdot\displaystyle{\frac{1-\displaystyle{\frac{f(x_1)}{f(x)}}}{1-\displaystyle{\frac{g(x_1)}{g(x)}}}}\lt l+\varepsilon \end{aligned}$

より

$\begin{aligned} l-(l+1)\varepsilon\lt(1-\varepsilon)(l-\varepsilon)\lt\displaystyle{\frac{f(x)}{g(x)}}\lt\displaystyle{\frac{l+\varepsilon}{1-\varepsilon}}\lt l+2(l+1)\varepsilon \end{aligned}$

を得られるが、 $0\lt\varepsilon\lt\displaystyle{\frac{1}{2}}$ は任意だったから、

$\begin{aligned} \displaystyle{\lim_{x\rightarrow x_0+0}\frac{f(x)}{g(x)}}=l \end{aligned}$

を得る。　
　他方で、 $l=\infty$ の場合、仮定より

$\begin{aligned} \displaystyle{\lim_{x\rightarrow x_0+0}\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}}=\infty \end{aligned}$

である。そのため適当に $x_0\lt c^{\prime}\lt c$ を選ぶと $x_0\lt {}^{\forall}x\lt c^{\prime}$ に対して $f^{\prime}(x)\neq0$ である。さらに $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow x_0+0}\frac{g^{\prime}(x)}{f^{\prime}(x)}}=0$ であるから、

$\begin{aligned} \displaystyle{\lim_{x\rightarrow x_0+0}\frac{g(x)}{f(x)}}=0 \end{aligned}$

が成り立つ。したがって

$\begin{aligned} \displaystyle{\lim_{x\rightarrow x_0+0}\frac{f(x)}{g(x)}}=\infty \end{aligned}$

である。

(iv) $x=\displaystyle{\frac{1}{y}}$ とおき、 $F(y)=f\left(\displaystyle{\frac{1}{y}}\right),G(y)=g\left(\displaystyle{\frac{1}{y}}\right)$ とおく。このとき

$\begin{aligned} \displaystyle{\lim_{y\rightarrow+0}\frac{F^{\prime}(y)}{G^{\prime}(y)}}=\displaystyle{\lim_{y\rightarrow+0}\frac{f^{\prime}\left(\displaystyle{\frac{1}{y}}\right)}{g^{\prime}\left(\displaystyle{\frac{1}{y}}\right)}}=\displaystyle{\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}}=l \end{aligned}$

である。(iii)より $\displaystyle{\lim_{y\rightarrow+0}\frac{F(y)}{G(y)}}=l$ である。したがって

$\begin{aligned} \displaystyle{\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{f(x)}{g(x)}}=\displaystyle{\lim_{y\rightarrow+0}\frac{F(y)}{G(y)}}=l \end{aligned}$

を得る。　 $\blacksquare$ )

5.7　関数の極値

　関数 $f(x)$ は区間 $I=(a,b)$ で定義されているとする。このとき近傍 $B(x_0;\delta)=(x_0-\delta,x_0+\delta)$ において ${}^{\forall}x\in B(x_0;\delta)$ が

$\begin{aligned} f(x)\leq f(x_0)\ (f(x)\geq f(x_0)) \end{aligned}$

を満たすとき、 $f(x)$ は $x=x_0$ において極大（または極小）であるといい、 $f(x_0)$ を極大値（または極小値）という。

極値と導関数　 $f(x)$ は区間 $I=(a,b)$ 上で微分可能だとする。このとき $x=x_0$ において極値を取るならば $f^{\prime}(x_0)=0$ である。

( $\because$ 　 $x=x_0$ において $f(x)$ が極大値を取るとする（極小値としても同様の手順で証明できる。）。このとき $\delta\gt0$ を適当に取れば

$\begin{aligned} \displaystyle{\frac{f(x_0+\delta)-f(x_0)}{h}}\gt0,&0\lt \delta\lt h\\ \displaystyle{\frac{f(x_0-\delta)-f(x_0)}{h}}\lt0,&-\delta\lt h\lt0 \end{aligned}$

が成り立つ。したがって $h\downarrow0$ および $h\uparrow0$ とすることで

$\begin{aligned} f^{\prime}(x_0)=f_{+}^{\prime}(x_0)\leq0,\ f^{\prime}(x_0)=f_{-}^{\prime}(x_0)\geq0 \end{aligned}$

が得られるから、 $f^{\prime}(x_0)=0$ である。　 $\blacksquare$ )

5.8　関数のグラフ

　微分を用いて関数の凹凸や極値などを調べそのグラフの外形を捉えることができる。
　関数 $f(x)$ が $x=x_0$ を境にして下に凸から上に凸に変わるとき、 $(x_0,f(x_0))$ を変曲点という。前述の定理から $f(x)$ が $x=x_0$ で連続かつ2回微分可能だとして、点 $(x_0,f(x_0))$ が $f(x)$ の変曲点ならば $f^{\prime\prime}(x_0)=0$ でなければならない。

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5. 1変数関数の微分

5.5 凸関数

5.6 不定形の極限

5.7 関数の極値

5.8 関数のグラフ

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5.6　不定形の極限

5.7　関数の極値

5.8　関数のグラフ